Em geometria diferencial e topologia , uma variedade complexa é definido de maneira que cada vizinhança possua uma correspondencia a um n-espaço complexo atraves de uma mudança ou sistema de coordenadas analiticas .ou seja, Mais precisamente, uma variedade complexa tem um atlas suave de cartas para o disco unitario aberto ^[1] em ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$, tais que a mudança de coordenadas entre cartas seja holomórfica.

O termo variedade complexa geralmente e utlizado para representar uma variedade definida como acima (o qual pode ser especificado como uma variedade complexa integrável), e uma estrutura quase complexa, como discutida abaixo.

Dado que funções analíticas complexas são muito mais rígidas que as funções de classe ${\displaystyle C}$^∞, as teorias de variedades ${\displaystyle C}$^∞ e complexas têm aspectos muito diferentes: variedades complexas compactas são muito mais próximas a variedades algébricas que as variedades diferenciáveis.

Por exemplo, o teorema da imersão de Whitney nos diz que cada variedade ${\displaystyle C}$^∞ pode ser imersa como uma subvariedade de R${\displaystyle ^{n}}$, aonde é "raro" para uma variedade complexa ter uma imersão holomórfica em Cⁿ. Considera-se por exemplo qualquer compacto, variedade complexa conectada ${\displaystyle M}$: qualquer função holomórfica sobre ele é constante localmente pelo teorema de Liouville. Agora se nós temos uma imersão holomórfica de M em Cⁿ, então as funções coordenadas de Cⁿ se restringirão às funções holomórficas não-contantes em M, contradizendo a compactação, exceto no caso que M é apenas um ponto. variedades complex que podem ser imersas em Cⁿ são chamadas distribuições de Stein e formam uma classe muito especial de variedades, incluindo, por exemplo, variedades algébricas complexas ${\displaystyle C}$^∞ refinadas.

A classificação de distribuições complexas é muito mais sutil que a de distribuições diferenciáveis. Por exemplo, enquanto em dimensões outra que não quatro, uma dada distribuição topológica tem mais finitas estruturas ${\displaystyle C}$^∞, uma distribuição topológica sustentando uma estrutura complexa pode e frequentemente o faz sustentar incontáveis estruturas complexas. superfícies de Riemann, distribuições bidimensionais munidas com uma estrutura complexa, as quais são topologicamente classificadas pelo gênero, são um importante exemplo deste fenõmeno. O conjunto de estruturas complexas sobre uma dada superfície orientada, equilalência biholomórfica em de módulo, em si forma uma variedade algébrica chamada um espaço de módulos, estrutura a qual é objeto de ativa pesquisa.

Desde que os mapas de transição entre cartas são biholomórficos, distribuições complexas são, em particular, ${\displaystyle C}$^∞ e canonicamente orientadas (não apenas orientáveis: um mapa biholomórfico a (um subconjunto de) ${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$ dá uma orientação, como mapas biholomórficos são preservantes da orientação).

• Superfícies de Riemann.
• O produto Cartesiano de duas variedades complexas.
• A imagem inversa de qualquer valor não crítico de um mapa holomórfico.

Variedades algébricas complexas lisas são estruturas complexas, incluindo:

• Espaços vetoriais complexos.
• Espaços complexos projetivos^[2], ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$.
• Grassmannianos complexos.
• Grupos de Lie complexos, tais como GL(n,C) ou Sp(n,C).

Similarmente, os quaterniônicos análogos destes são também estruturas complexas.

As estruturas simplesmente conectadas 1-dimensionais complexas são:

• ${\displaystyle \Delta }$, o disco unidade em ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$, o plano complexo
• ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}}$, a esfera de Riemann

Note-se que há inclusões entre estes como ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} \subset {\hat {\mathbb {C} }}}$, mas que não há nenhum mapa não constante na outra direção, pelo teorema de Liouville.

Os seguintes espaços são diferentes do ponto de vista das suas estruturas complexas, mostrando que a geometria e mais rígida que a característica das suas propias estruturas complexas (comparadas a estruturas lisas):

• o disco unitario ou bola aberta, ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ^{n}\mid \lVert z\rVert <1\}}$
• palno complexo ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• o polidisco ${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in {\mathbb {C} }^{n}\mid \vert z_{i}\vert <1,{\mbox{ para todo }}i=1,\dots ,n\}}$

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