Transformada Z de Chirp

Gráfico de uma resposta espectral de um pulso de chirp, modelado por uma varredura não linear, para dar um perfil de Hamming

A transformada Z de chirp (CZT) é uma generalização da transformada discreta de Fourier (DFT). Enquanto a DFT faz a amostragem do plano Z em pontos uniformemente espaçados ao longo do círculo unitário, as amostras da transformada Z de chirp ao longo de arcos espirais no plano Z, correspondendo a linhas retas no plano S.[1][2]

Especificamente, a transformada Z de chirp calcula a transformada Z em um número finito de pontos zk ao longo de um contorno espiral logarítmico, definido como:[1][3]

Nessas equações A é o ponto inicial complexo, W é a razão complexa entre pontos e M é o número de pontos a serem calculados.

Como a DFT, a transformada Z chirp pode ser calculada em operações O (n log n) onde . Um algoritmo O (N log N) para a transformação Z de chirp inversa (ICZT) foi descrito em 2003,[4][5] e em 2019.[6]

Transformadas Z

O algoritmo de Bluestein[7][8] pode ser usado para calcular uma transformada[nota 1] mais geral baseada na transformada Z (unilateral) (Rabiner et al., 1969). Em particular, ele pode calcular qualquer transformada da forma

para um número complexo arbitrário z e para números diferentes N e M de entradas e saídas. Dado o algoritmo de Bluestein, essa transformada pode ser usada, por exemplo, para obter uma interpolação mais espaçada de uma parte do espectro (embora a resolução da frequência ainda seja limitada pelo tempo total de amostragem, semelhante a um Zoom FFT), aprimore arbitrariamente polos em análises de função de transferência, etc.

O algoritmo foi apelidado de chirp z-transform porque, para o caso da transformada de Fourier (|z| = 1), a sequência bn é uma senoide complexa de frequência linearmente crescente, que é chamada de chirp (linear) nos sistemas de radar.

Transformada Z de chirp inversa (ICZT)

Stoytchev, juntamente com Vladimir Sukhoy, trabalharam juntos para desenvolver o algoritmo: transformada z de chirp inversa (ICZT). O ICZT é um procedimento passo a passo que mapeia a saída do algoritmo CZT de volta à sua entrada. Os dois algoritmos são semelhantes a uma série de dois prosme - o primeiro isola o comprimento de onda da luz branca em cores diferentes, e o segundo reverte o processo combinando o espectro de volta à luz branca. O ICZT pode ser usado com componentes de frequência em decadência ou crescente exponencialmente (ao contrário do IFFT) e que foi testado quanto à precisão numérica.[9]

Também pode trabalhar com contornos que envolvem e executam várias revoluções ao longo do círculo. Isso permite o uso de componentes de frequência específicos (não ortogonais), o que eleva uma das principais restrições do IFFT e pode levar a uma melhor utilização do espectro. No círculo unitário, o algoritmo ICZT alcança alta precisão com apenas números de ponto flutuante de 64 bits e não requer precisão numérica adicional, facilitando a implementação. O algoritmo pode emparelhar-se bem com o algoritmo CZT existente para fazer análises de sinais consecutivos e síntese de sinais.[10]

Notas e referências

Notas

  1. ↑ O algoritmo de Bluestein expressa o CZT como uma convolução e o implementa eficientemente usando FFT/IFFT.

Referências

  1. ↑ a b A study of the Chirp Z-transform and its applications - Shilling, Steve Alan
  2. ↑ «Chirp Z-transform - MATLAB czt». www.mathworks.com. Consultado em 22 de setembro de 2016 
  3. ↑ Martin, Grant D. (novembro 2005). «Chirp Z-Transform Spectral Zoom Optimization with MATLAB®» (PDF) 
  4. ↑ Bostan, Alin (2003). Algorithmique efficace pour des operations de base en Calcul formel (PDF) (PhD). Ecole polytechnique 
  5. ↑ Bostan, Alin; Schost, Éric (2005). «Polynomial evaluation and interpolation on special sets of points». Journal of Complexity (em inglês). 21 (4): 420–446. doi:10.1016/j.jco.2004.09.009 
  6. ↑ Engineers Solve 50-Year-Old Puzzle in Signal Processing – Inverse Chirp Z-Transform, By IOWA STATE UNIVERSITY OCTOBER 10, 2019
  7. ↑ Bluestein, L. (1 de dezembro de 1970). «A linear filtering approach to the computation of discrete Fourier transform». IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics. 18 (4): 451–455. ISSN 0018-9278. doi:10.1109/TAU.1970.1162132 
  8. ↑ «Bluestein's FFT Algorithm». DSPRelated.com 
  9. ↑ «Solving a 50-year-old puzzle in signal processing» (em inglês). 26 de março de 2020 
  10. ↑ Sukhoy, Vladimir; Stoytchev, Alexander (8 de outubro de 2019). «Generalizing the inverse FFT off the unit circle». Scientific Reports (em inglês). 9 (1): 1–12. ISSN 2045-2322. doi:10.1038/s41598-019-50234-9 
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