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Em álgebra linear, o teorema de Perron-Frobenius, provado por Oskar Perron (1907) e Ferdinand Georg Frobenius (1912), afirma que uma matriz real quadrada com entradas positivas tem um único maior autovalor e que o correspondente autovetor tem componentes estritamente positivos, e também afirma uma declaração semelhante para certas classes de matrizes não negativas. Este teorema tem aplicações importantes para a teoria de probabilidade (ergodicidade de cadeias de Markov ), para a teoria de sistemas dinâmicos; à Economia (modelo de Leontief);^[1] à demografia (modelo de distribuição etária de população Leslie)^[2] à base matemática de motores de busca na internet^[3]e até mesmo a classificação dos times de futebol.^[4]

Caso com matrizes positivas

A teoria de matrizes não-negativas assume sua forma mais simples e elegante para matrizes positivas e é para esse caso que Oskar Perron fez descobertas fundamentais em 1907 (apud ^[5]). Agora, resumiremos seus principais resultados em um teorema que leva seu nome.

Teorema de Perron

Se $A$ é uma matriz quadrada e $A>0$ , então

(a) $\rho (A)>0$
(b) $\rho (A)$ é um autovalor de $A$
(c) Existe um vetor $x$ tal que $x>0$ e $Ax=\rho (A)x$
(d) $\rho (A)$ é um autovalor algebricamente (e, dessa forma, geometricamente) simples
(e) $|\lambda |<\rho (A)$ para todo autovalor de $A$ tal que $\lambda \neq \rho (A)$ , ou seja, $\rho (A)$ é o único autovalor de maior módulo
(f) $[\rho (A)^{-1}A]^{m}\rightarrow H$ quando $m\rightarrow \infty$ , onde $H=xy^{T}$ , $Ax=\rho (A)x$ , $A^{T}y=\rho (A)y$ , $x>0$ , $y>0$ e $x^{T}y=1$ .

O único autovetor normalizado caracterizado no item (c) do Teorema de Perron é frequentemente chamado de vetor de Perron de $A$ e $\rho (A)$ é frequentemente chamado de raiz de Perron de $A$ . Obviamente, $A^{T}$ é uma matriz positiva se $A$ é positiva. Assim, o Teorema de Perron se aplica à matriz $A^{T}$ também. O vetor de Perron de $A^{T}$ é chamado de vetor de Perron à esquerda de $A$ .^[5]

Caso com matrizes não-negativas e irredutíveis

Quando nos deparamos com matrizes não-negativas que não são positivas, é necessário considerar uma extensão do Teorema de Perron para o caso em que nem todas entradas da matriz são estritamente positivas. ^[5]

Teorema

Se $A$ é uma matriz quadrada e $A\geq 0$ , então $\rho (A)$ é um autovalor de $A$ e existe um autovetor não-negativo $x\geq 0$ , $x\neq 0$ , tal que $Ax=\rho (A)x$ .

Entretanto, sem hipóteses adicionais, não podemos ir muito além do teorema acima na generalização do Teorema de Perron para matrizes não-negativas.

Quando $A\geq 0$ , o autovalor não-negativo $\rho (A)$ é chamado raiz de Perron de $A$ . Visto que um autovetor associado com a raiz de Perron de uma matriz não-negativa não é necessariamente unicamente determinado (a menos quando $A$ é positiva), não existe uma noção bem determinada de o vetor de Perron para uma matriz não-negativa. Por exemplo, a matriz $A=I$ possui todo vetor não-negativo como um autovetor associado com a raiz de Perron $\rho (A)=1$ . ^[5]

Agora, veremos como o Teorema de Perron se generaliza para matrizes não-negativas e irredutíveis. O nome de Frobenius é associado à generalização dos resultados de Perron sobre matrizes positivas para matrizes não-negativas segundo,^[5] pois os primeiros resultados para tais matrizes foram obtidas por Georg Frobenius em 1912.

Teorema de Perron-Frobenius

Se $A$ é uma matriz quadrada, não-negativa e irredutível, então,

(a) $\rho (A)>0$
(b) $\rho (A)$ é um autovalor de $A$
(c) Existe um vetor $x$ positivo tal que $Ax=\rho (A)x$
(d) $\rho (A)$ é um autovalor algebricamente (e, dessa forma, geometricamente) simples

O teorema garante que o autoespaço de uma matriz não-negativa e irredutível associado com a raiz de Perron é unidimensional. Para uma matriz não-negativa e irredutível, o único autovetor positivo normalizado também é chamado de vetor de Perron. ^[5]