Giovanni Ceva, um matemático italiano, publicou o teorema de Menelaus (descoberto por Menelau de Alexandria em aproximadamente 100 a.C.) em 1678 e um segundo teorema de sua própria autoria, relacionado com o primeiro, o “Teorema de Ceva”. O teorema de Menelaus trata sobre alinhamentos dos pontos dados e o teorema de Ceva sobre a concorrência das cevianas de um triângulo qualquer em um único ponto.[1]
Teorema de Ceva. Seja ABC um triângulo qualquer e D, E e F pontos sobre os lados BC, CA e AB, respectivamente. Como mostra a figura acima. Os seguimentos AD, BE e CF são concorrentes se, e somente se,
= 1
Para a demonstração do teorema de Ceva, usaremos as áreas dos triângulos, representando-as através de parênteses.
Demonstração: A prova deste teorema se baseia no seguinte fato:
A área de triângulos de mesma altura é proporcional a base dos triângulos.
Suponha que AD, BE e CF são concorrentes. Referindo-se a figura acima, temos que
= =
Mas, se k=a/b=c/d, então k=(a-c)/(b-d).
Portanto,
= =
Analogamente, obtemos que
= e =
Agora, multiplicando estas frações, obtemos que
= = 1
como queríamos provar.
Agora, a demonstração da recíproca.
Para mostrar a recíproca, considere O como o ponto de interseção dos segmentos AD e BE e seja F' o ponto de interseção da reta CO com a reta AB e suponha que
= 1
Por outro lado, como AD, BE e CF' concorrem em O, a parte já provada do teorema nos dá que
= 1
Comparando estas duas últimas equações, temos que
=
Ora, isto é equivalente a
+ 1 = + 1 ⇔ + = +
⇔ = ⇔ = ⇔ FB = F'B
Isto é, F e F' são os mesmo pontos. Logo AD, BE e CF concorrem.
Complementando:
Ceviana é um segmento de reta que liga um vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado oposto. A altura, a mediana ou a bissetriz do triângulo são cevianas particulares.
