Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.

Seja ${\displaystyle X\,}$ um espaço de Banach e ${\displaystyle N\,}$ um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda ${\displaystyle \{T_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\,}$ uma família de operadores lineares limitados definidos de ${\displaystyle X\,}$ em ${\displaystyle N\,}$. Defina o conjunto ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle B:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|<\infty \}}$

Então, se ${\displaystyle B\,}$ é de segunda categoria em ${\displaystyle X\,}$ então:

• ${\displaystyle B=X\,}$ e
• ${\displaystyle \sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }\|<\infty }$

O teorema em si surge primeiramente para funcionais lineares contínuos por H. Hahn em 1922, mas a demonstração clássica utiliza o teorema da categoria de Baire é devida a S. Banach e H. Steinhaus em 1927^[1]. Em 2011, o matemático A. Sokal apresentou uma demonstração sem fazer o uso do mesmo^[2].

Escreva o conjunto ${\displaystyle B}$ como a seguinte reunião:

${\displaystyle B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},~~B_{n}:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}}$

Como

${\displaystyle B_{n}=\bigcap _{\alpha \in \mathrm {A} }\{x\in X:\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}}$

e cada um dos operadores ${\displaystyle T_{\alpha }:X\longrightarrow N\,}$ é contínuo, ${\displaystyle B_{n}\,}$ é fechado. Do fato de que ${\displaystyle X\,}$ é de segunda categoria em ${\displaystyle X\,}$ e pelo teorema da categoria de Baire, sabemos que pelo menos um dos ${\displaystyle B_{n}\,}$ possui interior não vazio.

Da linearidade dos operadores, ${\displaystyle B_{n}=nB_{1}\,}$ e portanto, existe um ${\displaystyle \delta >0\,}$ e um ${\displaystyle x_{0}\in B_{1}\,}$ tais que:

${\displaystyle {\mathcal {B}}(x_{0},\delta )\subseteq B_{1}\,}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x_{0},\delta )\,}$ é bola de centro ${\displaystyle x_{0}\,}$ e raio ${\displaystyle \delta \,}$.

Como ${\displaystyle B_{1}\,}$ é convexo, pode-se considerar ${\displaystyle x_{0}=0\,}$.

Escolha ${\displaystyle r>0\,}$ tal que ${\displaystyle \|xr\|={\frac {\delta }{2}}\,}$ e estime:

${\displaystyle \|T_{\alpha }(x)\|={\frac {1}{r}}\|T_{\alpha }(rx)\|\leqslant {\frac {1}{r}}={\frac {2}{\delta }}\|x\|}$

E o resultado segue.

Primeiro, vejamos um resultado técnico:

Lema. Para qualquer operador linear ${\displaystyle T:X\longrightarrow Y}$ entre espaços normados, qualquer ${\displaystyle x\in X}$ e qualquer ${\displaystyle r>0}$, têm-se

${\displaystyle \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\geqslant \|T\|_{\infty }r}$

onde ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x,r)=\{y\in X:\|x-y\|<r\}}$ denota a bola aberta de centro ${\displaystyle x}$ e raio ${\displaystyle r}$.

Demonstração do Lema. De fato, para qualquer ${\displaystyle y\in X}$, vale a seguinte desigualdade:

${\displaystyle {\frac {\|T(x+y)\|+\|T(x-y)\|}{2}}\geqslant \|Ty\|}$

dado que ${\displaystyle 2Ty=T(x+y)-T(x-y)}$, aplicando a desigualdade triangular segue.

Porém, ${\displaystyle \max(a,b)\geqslant (a+b)/2}$ para quaisquer ${\displaystyle a,b\geqslant 0}$ . Ou seja:

${\displaystyle \max {\Big (}\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|{\Big )}\geqslant \|Ty\|}$

Tomando a norma do supremo em ${\displaystyle y\in {\mathcal {B}}(0,r)}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|_{\infty }r&=\sup _{z\in {\mathcal {B}}[0,1]}\|Tz\|r\\&=\sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,r)}\|Ty\|\\&\leqslant \sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,1)}\max(\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|)\\&\leqslant \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\end{aligned}}}$

Terminando a demonstração do lema ${\displaystyle \Box }$.

Demonstração do Teorema da Limitação Uniforme. Suponha por absurdo que ${\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }\|_{\infty }=\infty }$, i.e., existe uma sequência ${\displaystyle \left(T_{\alpha _{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ tal que ${\textstyle \left\|T_{\alpha _{n}}\right\|_{\infty }\geqslant 4^{n}}$, para qualquer ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Pelo lema técnico garantido acima, existe ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ tal que, para todo ${\displaystyle n}$,

${\displaystyle \left\|x_{n}-x_{n-1}\right\|\leqslant {\frac {1}{3^{n}}}\quad {\text{ e }}\quad \left\|T_{\alpha _{n}}x_{n}\right\|\geqslant {\frac {2}{3^{n+1}}}\left\|T_{\alpha _{n}}\right\|_{\infty }}$

Tal sequência é de Cauchy e por ${\displaystyle X}$ ser um espaço de Banach, existe um ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ de modo que ${\displaystyle \left\|x-x_{n}\right\|\leqslant {\dfrac {3^{n}}{2}}}$ para todo ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$.

Portanto,

${\displaystyle \left\|T_{\alpha _{n}}x\right\|\geqslant {\frac {3^{-n}}{2}}\left\|T_{\alpha _{n}}\right\|_{\infty }\geqslant {\frac {1}{6}}{\frac {4^{n}}{3^{n}}}}$

para qualquer ${\displaystyle x\in X}$ e qualquer ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

O absurdo está em contrariar a hipótese de que ${\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }(x)\|_{\infty }<\infty }$. Logo, não pode ser o caso de ${\displaystyle \sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }\|_{\infty }=\infty }$. ${\displaystyle \Box }$

Para explicitar a necessidade da hipótese de completude temos o exemplo abaixo:

Seja ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ o espaço normado dos elementos ${\displaystyle x=\left(x_{j}\right)\in }$ ${\displaystyle l^{\infty }(\mathbb {N} )}$ com ${\displaystyle x_{j}\neq 0}$ somente para ${\displaystyle j}$ num conjunto finito de índices. Defina ${\displaystyle T_{n}:{\mathcal {N}}\rightarrow l^{\infty }}$ por ${\displaystyle T_{n}x=\left(nx_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }}$. Então ${\displaystyle T_{n}\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {N}},l^{\infty }\right)}$ para todo ${\displaystyle n}$ e para cada ${\displaystyle x\in {\mathcal {N}}}$ existe o limite ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }T_{n}x=0}$, mas ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|T_{n}\right\|=\infty }$.

Segue aplicação do teorema para estudo da continuidade de aplicações bilineares:

Corolário. Sejam ${\displaystyle X,Y}$ Espaços de Banach. Se ${\displaystyle b:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }$ é uma aplicação bilinear separadamente contínua (ou seja, ${\displaystyle b(\cdot ,y)}$ e ${\displaystyle b(x,\cdot )}$ são lineares e contínuas para cada ${\displaystyle y\in Y}$ e cada ${\displaystyle x\in {X}}$, respectivamente), então ${\displaystyle b}$ é contínua, ou seja, se ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$ e ${\displaystyle y_{n}\rightarrow y}$, então ${\displaystyle b\left(x_{n},y_{n}\right)\rightarrow b(x,y)}$.

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