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Na lógica proposicional, tautologia é uma de duas regras de substituição comumente utilizadas.^[1][2][3] As regras são usadas para eliminar redundâncias em disjunções e conjunções quando elas ocorrem em provas lógicas. Elas são:

O princípio da idempotência da disjunção:

${\displaystyle P\lor P\Leftrightarrow P}$

e o princípio da idempotência da conjunção:

${\displaystyle P\land P\Leftrightarrow P}$

Onde "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" é um símbolo da metalógica que representa "pode ser substituído numa prova lógica com".

A regra tem esse nome porque seu conceito é o mesmo do enunciado tautológico. Se "p e p" é verdade, então, "p" é verdade; e se "p ou p" é verdade, então, "p" é verdade.

Teoremas são fórmulas lógicas ${\displaystyle \phi }$ onde ${\displaystyle \vdash \phi }$ é a conclusão de uma prova válida, enquanto a consequência semântica equivalente  ${\displaystyle \models \phi }$ indica uma tautologia.

A regra da tautologia pode ser expressada com as sentenças:

${\displaystyle P\lor P\vdash P\,}$

e

${\displaystyle P\land P\vdash P\,}$

onde ${\displaystyle \vdash }$ é um símbolo lógico que significa que ${\displaystyle P}$ é uma consequência sintática de ${\displaystyle P\lor P}$, em um caso, ${\displaystyle P\land P}$ em outro caso, no sistema lógico.

ou como regra de inferência:

${\displaystyle {\frac {P\lor P}{\therefore P}}}$

e

${\displaystyle {\frac {P\land P}{\therefore P}}}$

onde a regra é: sempre que uma instância de "${\displaystyle P\lor P}$" ou "${\displaystyle P\land P}$" aparecer em uma prova lógica, pode ser substituído apenas por "${\displaystyle P}$".

O princípio foi afirmado como um teorema da lógica proposicional por Russell e Whitehead em "Principia Mathematica" como:

${\displaystyle (P\lor P)\to P\,}$

e

${\displaystyle (P\land P)\to P\,}$

onde ${\displaystyle P}$ é uma preposição formal.

Referências