Quadrado mágico

Um quadrado mágico em A Melancolia, de Albrecht Dürer, 1514.

Quadrado Mágico é uma tabela quadrada, com números, em que a soma de cada coluna, de cada linha e das duas diagonais são iguais.[1]

Veja o exemplo:



Sua origem não é conhecida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores à nossa era na China e na Índia. O quadrado de 9 casas (3 x 3) é encontrado pela primeira vez num manuscrito árabe, no fim do Século VIII, e atribuído a Apolônio de Tiana (I Século) por Marcellin Berthelot.[2]

Na Idade Média os quadrados mágicos se tornaram muito populares pelo seu uso em Pantáculos e Talismãs, onde eram associados a Planetas que atribuíam a eles o poder de atrair proteção astral para seus detentores.

Classificações

Existem certos modelos de quadrados mágicos que recebem uma classificação especial devido a suas singularidades. São eles:

  • Imperfeito ou Defeituoso

O que não obedece a todas as regras de um quadrado mágico. Por exemplo, um quadrado mágico onde a soma das linhas e colunas são iguais, mas a das diagonais não;

  • Hipermágico

O que tem certas propriedades adicionais, além de obedecer às regras básicas. Por exemplo, um quadrado mágico onde, trocando-se duas colunas de lugar, forma-se um outro quadrado mágico; e

  • Diabólico

É um quadrado hipermágico com muitas propriedades ou com propriedades muito complexas. O nome diabólico tem sua provável origem na dificuldade em se formá-lo.

Essa complexidade já não existe, uma vez que qualquer Quadrado Mágico de qualquer ordem é facilmente construído a partir de regras pré estabelecidas

Os quadrados de ordem par não múltipla de 4 (ex: 6x6 10x10 14x14 18x18 etc) são os que requerem uma maior atenção para sua construção. Entretanto, existe um roteiro que torna essa construção tão fácil como a de qualquer outro tipo de Quadrado Mágico.

O exemplo a seguir refere-se ao Quadrado Mágico 10x10 cuja soma de qualquer linha coluna ou diagonal é 505.

68 65 96 93 4 1 32 29 60 57
66 67 94 95 2 3 30 31 58 59
92 89 20 17 28 25 56 53 64 61
90 91 18 19 26 27 54 55 62 63
16 13 24 21 49 52 80 77 88 85
14 15 22 23 50 51 78 79 86 87
37 40 45 48 76 73 81 84 9 12
38 39 46 47 74 75 82 83 10 11
41 44 69 72 97 100 5 8 33 36
43 42 71 70 99 98 7 6 35 34

Esse outro exemplo refere-se ao Quadrado Mágico 30x30 cuja soma de qualquer linha coluna ou diagonal é 13515.

488 485 556 553 624 621 692 689 760 757 828 825 896 893 4 1 72 69 140 137 208 205 276 273 344 341 412 409 480 477
486 487 554 555 622 623 690 691 758 759 826 827 894 895 2 3 70 71 138 139 206 207 274 275 342 343 410 411 478 479
552 549 620 617 688 685 756 753 824 821 892 889 60 57 68 65 136 133 204 201 272 269 340 337 408 405 476 473 484 481
550 551 618 619 686 687 754 755 822 823 890 891 58 59 66 67 134 135 202 203 270 271 338 339 406 407 474 475 482 483
616 613 684 681 752 749 820 817 888 885 56 53 64 61 132 129 200 197 268 265 336 333 404 401 472 469 540 537 548 545
614 615 682 683 750 751 818 819 886 887 54 55 62 63 130 131 198 199 266 267 334 335 402 403 470 471 538 539 546 547
680 677 748 745 816 813 884 881 52 49 120 117 128 125 196 193 264 261 332 329 400 397 468 465 536 533 544 541 612 609
678 679 746 747 814 815 882 883 50 51 118 119 126 127 194 195 262 263 330 331 398 399 466 467 534 535 542 543 610 611
744 741 812 809 880 877 48 45 116 113 124 121 192 189 260 257 328 325 396 393 464 461 532 529 600 597 608 605 676 673
742 743 810 811 878 879 46 47 114 115 122 123 190 191 258 259 326 327 394 395 462 463 530 531 598 599 606 607 674 675
808 805 876 873 44 41 112 109 180 177 188 185 256 253 324 321 392 389 460 457 528 525 596 593 604 601 672 669 740 737
806 807 874 875 42 43 110 111 178 179 186 187 254 255 322 323 390 391 458 459 526 527 594 595 602 603 670 671 738 739
872 869 40 37 108 105 176 173 184 181 252 249 320 317 388 385 456 453 524 521 592 589 660 657 668 665 736 733 804 801
870 871 38 39 106 107 174 175 182 183 250 251 318 319 386 387 454 455 522 523 590 591 658 659 666 667 734 735 802 803
36 33 104 101 172 169 240 237 248 245 316 313 384 381 449 452 520 517 588 585 656 653 664 661 732 729 800 797 868 865
34 35 102 103 170 171 238 239 246 247 314 315 382 383 450 451 518 519 586 587 654 655 662 663 730 731 798 799 866 867
97 100 165 168 233 236 241 244 309 312 377 380 445 448 516 513 581 584 649 652 717 720 725 728 793 796 861 864 29 32
98 99 166 167 234 235 242 243 310 311 378 379 446 447 514 515 582 583 650 651 718 719 726 727 794 795 862 863 30 31
161 164 229 232 297 300 305 308 373 376 441 444 509 512 577 580 645 648 713 716 721 724 789 792 857 860 25 28 93 96
163 162 231 230 299 298 307 306 375 374 443 442 511 510 579 578 647 646 715 714 723 722 791 790 859 858 27 26 95 94
225 228 293 296 301 304 369 372 437 440 505 508 573 576 641 644 709 712 777 780 785 788 853 856 21 24 89 92 157 160
227 226 295 294 303 302 371 370 439 438 507 506 575 574 643 642 711 710 779 778 787 786 855 854 23 22 91 90 159 158
289 292 357 360 365 368 433 436 501 504 569 572 637 640 705 708 773 776 781 784 849 852 17 20 85 88 153 156 221 224
291 290 359 358 367 366 435 434 503 502 571 570 639 638 707 706 775 774 783 782 851 850 19 18 87 86 155 154 223 222
353 356 361 364 429 432 497 500 565 568 633 636 701 704 769 772 837 840 845 848 13 16 81 84 149 152 217 220 285 288
355 354 363 362 431 430 499 498 567 566 635 634 703 702 771 770 839 838 847 846 15 14 83 82 151 150 219 218 287 286
417 420 425 428 493 496 561 564 629 632 697 700 765 768 833 836 841 844 9 12 77 80 145 148 213 216 281 284 349 352
419 418 427 426 495 494 563 562 631 630 699 698 767 766 835 834 843 842 11 10 79 78 147 146 215 214 283 282 351 350
421 424 489 492 557 560 625 628 693 696 761 764 829 832 897 900 5 8 73 76 141 144 209 212 277 280 345 348 413 416
423 422 491 490 559 558 627 626 695 694 763 762 831 830 899 898 7 6 75 74 143 142 211 210 279 278 347 346 415 414

Dica

Dicas para solucionar o quadrado mágico 3x3:

  1. O total que se quer obter em todos os sentidos deverá ser dividido por 3. O que resultará no número a ser colocado no centro do quadrado.
  2. Os números a serem colocados nos cantos deverão ser pares se o centro for ímpar, ou vice e versa.
  3. O último número a ser colocado deverá ser o centro mais 4.

Essas regras só valem se os números forem múltiplos de 3. Ex: 15, 18, 21, 24, 27, 30 etc.

Quadrado de Dürer

O chamado “Quadrado de Dürer” é um Quadrado Mágico representado no canto superior direito da gravura Melancolia, obra do pintor e ilustrador alemão Albrecht Dürer, que também teve interesse em matemática, geometria, geografia e arquitetura. Aqui se apresenta a disposição dos números no quadrado:

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Detalhe canto direito superior de/ A Melancolia
Detalhe direito superior de Melancolia I
Melancolia I (1514) Gravura

Trata-se de um quadrado mágico 4 x 4 com os números de 1 a 16, o qual apresenta as seguintes particularidades

  • Na linha inferior, nas duas casas centrais, estão lado a lado os números 15 e 14 formando 1514, data da confecção da obra.
  • Nessa mesma linha, nos quadrados extremos, estão os números 4 (a 4ª letra é D) e 1 (a 1ª letra é A), de “Dürer, Albrecht”.
  • A soma dos números de qualquer das linhas é sempre 34
  • A soma dos números de qualquer das duas diagonais do quadro é também 34
  • A soma dos 4 números que ficam nos cantos do quadrado é 34
  • A soma dos 4 números das 4 casas centrais é 34
  • A soma dos 2 números centrais da linha do alto com os 2 centrais da linha de baixo é 34
  • A soma dos 2 números centrais da coluna direita com os 2 centrais da coluna esquerda é 34
  • A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema esquerda em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema direita em baixo é 34
  • A soma dos números dos dois quadrados contíguos à casa extrema direita em cima com aqueles dos dois contíguos à casa extrema esquerda em baixo é 34. (ver abaixo estas 2 últimas somas)

Em negrito 3 + 5 + 12 + 14 = 34; em itálico 2 + 8 + 9 + 15 = 34

16 3 (2) 13
5 10 11 (8)
(9) 6 7 12
4 (15) 14 1


  • Curiosidade:O quadrado de Dürer foi usado no livro de Dan Brown o símbolo perdido
  • A Editora 34 traz em seus livros o quadrado de Dürer.

Na Astrologia

Eis a relação entre as casas e os planetas:

  • Quadrado de 3, compreendendo 9 casas: Saturno;
  • Quadrado de 4, compreendendo 16 casas: Júpiter;
  • Quadrado de 5, compreendendo 25 casas: Marte;
  • Quadrado de 6, compreendendo 36 casas: Sol
  • Quadrado de 7, compreendendo 49 casas: Vênus;
  • Quadrado de 8, compreendendo 64 casas: Mercúrio;
  • Quadrado de 9, compreendendo 81 casas: Lua;
  • Quadrado de 10, compreendendo 100 casas: Terra
Saturno=15
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Júpiter=34
4 14 15 1
9 7 6 12
5 11 10 8
16 2 3 13
Marte=65
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
Sol=111
6 32 3 34 35 1
7 11 27 28 8 30
19 14 16 15 23 24
18 20 22 21 17 13
25 29 10 9 26 12
36 5 33 4 2 31
Vênus=175
22 47 16 41 10 35 4
5 23 48 17 42 11 29
30 6 24 49 18 36 12
13 31 7 25 43 19 37
38 14 32 1 26 44 20
21 39 8 33 2 27 45
46 15 40 9 34 3 28
Mercúrio=260
8 58 59 5 4 62 63 1
49 15 14 52 53 11 10 56
41 23 22 44 45 19 18 48
32 34 35 29 28 38 39 25
40 26 27 37 36 30 31 33
17 47 46 20 21 43 42 24
9 55 54 12 13 51 50 16
64 2 3 61 60 6 7 57
Lua=369
37 78 29 70 21 62 13 54 5
6 38 79 30 71 22 63 14 46
47 7 39 80 31 72 23 55 15
16 48 8 40 81 32 64 24 56
57 17 49 9 41 73 33 65 25
26 58 18 50 1 42 74 34 66
67 27 59 10 51 2 43 75 35
36 68 19 60 11 52 3 44 76
77 28 69 20 61 12 53 4 45

Terra = 505

Terra = 505
1 99 98 4 95 6 7 93 92 10
90 12 13 87 16 85 84 18 19 81
80 22 23 27 75 76 74 28 29 71
31 69 68 34 36 65 37 63 62 40
50 49 53 47 45 46 57 58 59 41
51 52 48 54 55 56 44 43 42 60
61 39 38 64 66 35 67 33 32 70
30 72 73 77 26 25 24 78 79 21
20 82 83 17 86 15 14 88 89 11
91 9 8 94 5 96 97 3 2 100

Referências

  1. ↑ Charles Hutton, A philosophical and mathematical dictionary (1815), Magical Square [google books]
  2. ↑ Marcelin Berthelot, Collection des anciens alchimistes grecs (3 vol., Paris, 1887–1888).
  • BAYARD, Jean-Pierre. Os Talismãs: Psicologia e poderes dos símbolos de proteção. São Paulo: Editora Pensamento, 1985 (ISBN 85-315-0647-6).
  • BOUCHER. Jules. A Simbólica Maçônica: Segundo as Regras da Simbólica Tradicional. 11.ª Edição - São Paulo: Editora Pensamento. 2006. (ISBN 85-315-0625-5).

Ver também

Ligações externas