Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante ${\displaystyle r.}$ O número ${\displaystyle r}$ é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.^[1][2][3]

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ definida recursivamente por:^[2][3]

$${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r,\quad n>1,}$$

onde o primeiro termo, ${\displaystyle a_{1},}$ é um número dado. O número ${\displaystyle r}$ é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

$${\displaystyle r=a_{n}-a_{n-1},\quad n>1.}$$

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

• ${\displaystyle (1,~4,~7,~10,~13,~\ldots )}$ é uma progressão aritmética em que o primeiro termo ${\displaystyle a_{1}}$ é igual a ${\displaystyle 1}$ e a razão ${\displaystyle r}$ é igual a ${\displaystyle 3.}$
• ${\displaystyle (-2,~-4,~-6,~-8,~-10,~\ldots )}$ é uma P.A. em que ${\displaystyle a_{1}=-2}$ e ${\displaystyle r=-2.}$
• ${\displaystyle (6,~6,~6,~6,~6,~\ldots )}$ é uma P.A. com ${\displaystyle a_{1}=6}$ e ${\displaystyle r=0.}$

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por ${\displaystyle a_{n},}$ pode ser obtido por meio da fórmula:^[1][2][3] $${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r,}$$ em que:

• ${\displaystyle a_{1}}$ é o primeiro termo;
• ${\displaystyle r}$ é a razão.

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

• Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto ${\displaystyle a_{2}=a_{1}+1\cdot r;}$
• Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para ${\displaystyle n-1,}$ ou seja, que ${\displaystyle a_{n-1}=a_{1}+(n-2)\cdot r,}$ resulta que o n-ésimo termo é dado por:

$${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r=(a_{1}+(n-2)\cdot r)+r=a_{1}+((n-2)\cdot r+r)=a_{1}+(n-1)\cdot r.}$$

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o ${\displaystyle n}$-ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do ${\displaystyle m}$-ésimo termo por:

$${\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)\cdot r.}$$

efeito, ${\displaystyle a_{m}+(n-m)r=a_{1}+(m-1)r+(n-m)r=a_{1}+(n-1)r=a_{n}.}$

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

$${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},\quad n>1}$$

ou seja, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

$${\displaystyle {\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}={\frac {a_{1}+(n-2)r+a_{1}+nr}{2}}={\frac {2(a_{1}+(n-1)r)}{2}}=a_{n}.}$$

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de ${\displaystyle a_{p}}$ até ${\displaystyle a_{q}}$ é dada pelo produto do número de termos no intervalo, (q - p + 1), pela média aritmética dos extremos do intervalo. Ou seja, pela seguinte fórmula: $${\displaystyle S_{(p,q)}={\frac {(q-p+1)\cdot (a_{p}+a_{q})}{2}}.}$$

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior: $${\displaystyle S_{n}={\frac {n\cdot \left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}}}$$ ou $${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}\cdot \left(a_{1}+a_{n}\right)}$$

Exemplo: Seja ${\displaystyle PA=(10,8,6,4,2),}$ qual é a soma dos 4 primeiros números?

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}&={\frac {4}{2}}\cdot \left(10+4\right)\\S_{4}&=2\cdot 14\\S_{4}&=28\end{aligned}}}$$

Considerando a PA ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n}),}$ a soma ${\displaystyle S_{n}}$ de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

$${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}}$$ $${\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+...+a_{2}+a_{1}}$$

Somando membro a membro, obtemos:

$${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}$$ $${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+...+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{1}+a_{n})}$$

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

$${\displaystyle (a_{2}+a_{n-1})=(a_{1}+r+a_{n}-r)=(a_{1}+a_{n})}$$ $${\displaystyle (a_{3}+a_{n-2})=(a_{1}+2r+a_{n}-2r)=(a_{1}+a_{n})}$$

e assim por diante

$${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})+...+(a_{1}+a_{n})+(a_{1}+a_{n})}$$

Então, como há ${\displaystyle n}$ pares de termos:

$${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n}$$ $${\displaystyle S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}}$$

Dada uma sequência finita ${\displaystyle (a_{1},~a_{2},~\ldots ,~a_{n}),}$ chamamos ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle a_{n}}$ de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) ${\displaystyle k}$ meios entre dois números dados ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b,}$ de forma a obtermos uma progressão aritmética de ${\displaystyle n=k+2}$ termos, sendo ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ seus extremos.^[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de ${\displaystyle k}$ termos meios entre dois números dados ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ tem primeiro termo ${\displaystyle a_{1}=a}$ e razão:

$${\displaystyle r={\frac {b-a}{k+1}}.}$$

Com efeito, vemos que tomando ${\displaystyle n=k+2,}$ temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

$${\displaystyle a_{n}=a+(k+2-1){\frac {b-a}{k+1}}=b}$$

como queríamos.

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.^[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

• ${\displaystyle (5,~5,~5,~5,~5,~5,~\ldots )}$ tem razão r = 0
• ${\displaystyle (0,~0,~0,~0,~0,~0,~\ldots )}$ tem razão r = 0

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).^[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

• ${\displaystyle (2,~4,~6,~8,~10,~\ldots )}$ com razão r = 2
• ${\displaystyle (3,~6,~9,~12,~15,~\ldots )}$ com razão r = 3

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).^[2][3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

• ${\displaystyle (6,~4,~2,~0,~-2,~\ldots )}$ tem razão igual a -2
• ${\displaystyle (6,~3,~0,~-3,~-6,~\ldots )}$ tem razão igual a -3

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números ${\displaystyle (a_{n})}$ em que as diferenças entre os termos consecutivos ${\displaystyle \Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$ forma uma progressão aritmética.^[4] Por exemplo, a sequência:

$${\displaystyle (1,~3,~7,~13,~21,~31,~\ldots )}$$

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos ${\displaystyle (\Delta a_{n})}$ é uma progressão aritmética de primeiro termo ${\displaystyle \Delta a_{1}=2}$ e razão ${\displaystyle r=2.}$

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem ${\displaystyle k\geq 2}$ é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem ${\displaystyle k-1.}$.^[4][5]

Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem. O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por ${\displaystyle r_{0},}$ a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por ${\displaystyle r_{1}}$ a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por ${\displaystyle r_{2},.}$ .. a razão de ordem k por ${\displaystyle r_{k}.}$ De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência. Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores. Em geral, para uma sequência de ordem ${\displaystyle k}$ são necessários ${\displaystyle k+1}$ valores. Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por: $${\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}}$$

Nota: os coeficientes ${\displaystyle {n-1 \choose m}}$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como: $${\displaystyle {n-1 \choose m}={\frac {(n-1)!}{(n-1-m)!(m)!}},}$$ onde ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$ são inteiros, ${\displaystyle m\leq n-1}$ e ${\displaystyle x!=1\times 2\times \ldots x}$ é o fatorial de x.

O coeficiente binomial ${\displaystyle {n-1 \choose m}}$ corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.

A soma dos primeiros termos da sequência (${\displaystyle S_{n}}$) é calculada por:

$${\displaystyle S_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n \choose m+1}r_{m}}$$

Até o momento discutimos Progressão Ariméticas de ordem qualquer por meio de uma abordagem por fórmulas extensas e de pouca implementação computacional.

Porém, podemos estudar elas por meio de polinômios na variável n e grau k ou k+1 (no qual k representa a ordem da sequência analisada). Assim reduzindo o problema à uma resolução de sistema linear, extremamente importante ao utilizar um computador.

Vamos começar com um caso simples que é o da progressão aritmética clássica.

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r}$

Imediato que a fórmula do termo geral é um polinômio na variável n com grau 1.

${\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot n+{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot r}$

Que novamente é imediato que temos uma fórmula da soma dos n primeiros termos como um polinômio na variável n com grau 2.

O sutil é ver aqui que temos apenas 2 coeficientes a determinar já que o termo independente é nulo nesse caso. Portanto, para determinarmos tanto ${\displaystyle S_{n}}$ quanto ${\displaystyle a_{n}}$ precisamos de duas equações, logo dois elementos da sequência, para determinarmos a fórmula geral (como um polinômio em n) por meio de um sistema linear 2 X 2.

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r_{1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}r_{2}}$

${\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot n+{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot r_{1}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}\cdot r_{2}}$

Com essas duas fórmulas já demonstradas verifica-se as mesmas coisas concluídas para uma progressão aritmética de ordem 1. Portanto para o termo geral achamos um polinômio de grau 2, e para a soma dos n elementos um polinômio de grau 3 com termo independente nulo.

Para uma progressão aritmética de grau K, podemos concluir por indução e um pouco de álgebra as seguintes ideias:

a) O termo geral pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K, portanto temos K+1 coeficientes a determinar.

B) A fórmula da soma dos n elementos pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K + 1 (termo independente nulo), portanto também K+1 coeficientes a determinar.

A beleza dessas conclusões se dá no fato de que com K + 1 elementos da sequência pode-se obter todos seus elementos tanto quanto a soma dos mesmos. O que acontece é que com essa quantia obtemos implicitamente todas as razões parciais, dessa forma, obtendo todas as informações necessárias sem nem mesmo percebemos.

Exemplificando: 1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo ${\displaystyle a_{n}}$ o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante. $${\displaystyle r_{0}=a_{1}=4}$$ $${\displaystyle r_{1}=a_{2}-a_{1}=9-4=5}$$ $${\displaystyle r_{2}=(16-9)-(9-4)=2}$$ $${\displaystyle r_{2}=(25-16)-(16-9)=2}$$ $${\displaystyle r_{2}=(36-25)-(25-16)=2}$$ $${\displaystyle ~~~~~~\vdots }$$ $${\displaystyle r_{2}=(a_{n}-a_{n-1})-(a_{n-1}-a_{n-2})=2}$$

Aplicando-se a fórmula: $${\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{2}{n-1 \choose m}r_{m}={n-1 \choose 0}r_{0}+{n-1 \choose 1}r_{1}+{n-1 \choose 2}r_{2}}$$

$${\displaystyle a_{n}={n-1 \choose 0}4+{n-1 \choose 1}5+{n-1 \choose 2}2}$$

$${\displaystyle a_{n}={4}+{5(n-1)}+{\frac {2(n-1)(n-2)}{2}}={1}+{2n}+{n^{2}}={(n+1)^{2}}}$$

$${\displaystyle a_{n}={(n+1)^{2}}}$$ 2) Encontrar a soma dos n primeiros termos dessa sequência (${\displaystyle S_{n}}$). De modo semelhante ao realizado acima: $${\displaystyle S_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{2}{n \choose m+1}r_{m}}$$

$${\displaystyle S_{n}={n \choose 1}4+{n \choose 2}5+{n \choose 3}2}$$

$${\displaystyle S_{n}={n}\left(4+{\frac {5(n-1)}{2}}+{\frac {(n-1)(n-2)}{3}}\right)}$$

3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.

a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.

b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de ${\displaystyle n.}$

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do ${\displaystyle r_{n}:}$ $${\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}}$$

$${\displaystyle a_{7}=\sum _{m=0}^{3}{7-1 \choose m}r_{m}=\sum _{m=0}^{3}{6 \choose m}r_{m}.}$$

Como ${\displaystyle a_{7}=345,}$ vem:

$${\displaystyle 345=r_{0}+r_{1}{6 \choose 1}+r_{2}{6 \choose 2}+r_{3}{6 \choose 3}}$$

Da mesma forma, para os outros dados: $${\displaystyle {\color {blue}1002}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}10}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}10}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}10}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{9 \choose 1}+r_{2}{9 \choose 2}+r_{3}{9 \choose 3}}$$

$${\displaystyle {\color {blue}3377}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}15}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}15}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}15}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{14 \choose 1}+r_{2}{14 \choose 2}+r_{3}{14 \choose 3}}$$

$${\displaystyle {\color {blue}15627}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}25}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}25}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}25}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{24 \choose 1}+r_{2}{24 \choose 2}+r_{3}{24 \choose 3}}$$ Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares: $${\displaystyle {\begin{matrix}r_{0}+6r_{1}+15r_{2}+20r_{3}=345\\r_{0}+9r_{1}+36r_{2}+84r_{3}=1002\\r_{0}+14r_{1}+91r_{2}+364r_{3}=3377\\r_{0}+24r_{1}+276r_{2}+2024r_{3}=15627\\\end{matrix}}}$$ O conjunto solução desse sistema ${\displaystyle (S)}$ é: $${\displaystyle S={\begin{Bmatrix}r_{0}=3\\r_{1}=7\\r_{2}=12\\r_{3}=6\\\end{Bmatrix}}}$$ Aplicando-se a fórmula para o caso ${\displaystyle n=30,}$ obtemos ${\displaystyle a_{30}:}$ $${\displaystyle a_{30}=\displaystyle \sum _{m=0}^{3}{30-1 \choose m}r_{m}}$$ $${\displaystyle a_{30}=r_{0}+r_{1}{{\color {blue}30}-1 \choose 1}+r_{2}{{\color {blue}30}-1 \choose 2}+r_{3}{{\color {blue}30}-1 \choose 3}=r_{0}+r_{1}{29 \choose 1}+r_{2}{29 \choose 2}+r_{3}{29 \choose 3}}$$ $${\displaystyle a_{30}=3+7{{\color {blue}30}-1 \choose 1}+12{{\color {blue}30}-1 \choose 2}+6{{\color {blue}30}-1 \choose 3}=3+7{29 \choose 1}+12{29 \choose 2}+6{29 \choose 3}}$$ Calculando-se a expressão acima, obtém-se: $${\displaystyle a_{30}=27002}$$

b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões ${\displaystyle r_{0},r_{1},r_{2}}$ e ${\displaystyle r_{3},}$ basta substituir os seus valores na fórmula de ${\displaystyle a_{n}:}$

$${\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}}$$ $${\displaystyle a_{n}=\displaystyle \sum _{m=0}^{3}{n-1 \choose m}r_{m}}$$ $${\displaystyle a_{n}=3+7{n-1 \choose 1}+12{n-1 \choose 2}+6{n-1 \choose 3}.}$$ Logo: $${\displaystyle a_{n}=n^{3}+2}$$ Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a relação de Sfifeel, diz que: $${\displaystyle {n-1 \choose m}+{n-1 \choose m+1}={n \choose m+1}.}$$ Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:

$${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m}r_{m}} \\a_{n}\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n-1 \choose m+1}r_{m}} \\S_{n-1}\end{matrix}}={\begin{matrix}\underbrace {\displaystyle \sum _{m=0}^{k}{n \choose m+1}r_{m}} \\S_{n}\end{matrix}}}$$ Considerando-se também o princípio da indução matemática e uma das propriedades dos somatórios,

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i})=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\pm \sum _{i=m}^{n}y_{i}}$ que, multiplicando-se os dois lados da equação por um número ${\displaystyle r,}$ esta se torna:

${\displaystyle {\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i}){\Bigg )}\cdot r={\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}x_{i}{\Bigg )}\cdot r\pm {\Bigg (}\sum _{i=m}^{n}y_{i}{\Bigg )}\cdot r}$

esse fato já demonstra as fórmulas apresentadas sobre as sequências aritméticas de ordem ${\displaystyle n.}$ A fórmula é válida para ${\displaystyle n=\{1,2,\cdots \},}$ ou seja,

${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {S_{0}} \\0\end{matrix}}=S_{1}-a_{1},}$

${\displaystyle S_{1}(=a_{1})=S_{2}-a_{2},}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle S_{n-1}(=a_{n-1})=S_{n}-a_{n},}$ que equivale à expressão mostrada acima.

São progressões aritméticas e geométricas ao mesmo tempo. Considere uma seqüência ${\displaystyle (a_{n})}$ cujo termo geral é ${\displaystyle a_{n}=(a_{0}+nr)q^{n},}$ com ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Veja que se ${\displaystyle q=1}$ ela se reduz à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (${\displaystyle a_{n}=a_{0}+nr}$) e se ${\displaystyle r=0,}$ temos a fórmula de uma progressão geométrica, (${\displaystyle a_{n}=a_{0}\cdot q^{n}}$).

A fórmula para a soma dos ${\displaystyle n}$ primeiros termos dessa sequência^[6] é:

${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{0}+q\cdot (q^{n}(a_{0}+r\cdot (1-n)-a_{0}q-1)-a0+r)}{(q-1)^{2}}}}$

• Progressão geométrica
• Sequência
• Carl Friedrich Gauss
• Função

Referências

• TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA - Exercício

• Portal da matemática