Em estatística, em particular, na análise de regressão, o ponto de alavanca é uma medida dos valores de observação da variável independente.

Os computadores modernos para análise estatística incluem, como parte das instalações para a análise de regressão, algumas medidas quantitativas que identificam as influências dos dados: entre essas medidas esta a o ponto de alavancagem parcial, uma medida de como uma variável contribui para alavancar o ponto de referência.^[1][2]

No modelo de regressão linear , o ponto de alavanca para a i-ésima unidade de dados é definido como:

${\displaystyle h_{ii}=\left[\mathbf {H} \right]_{ii},}$

o elemento da matriz de projeção ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}}$, onde ${\displaystyle \mathbf {X} }$ é a matriz de projeto.

${\displaystyle h_{ii}={\frac {\partial {\hat {y}}_{i}}{\partial y_{i}}},}$

${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$ e ${\displaystyle {y}_{i}}$ são as medida de ajustes e observação, respectivamente.

${\displaystyle 0\leq h_{ii}\leq 1.}$

Primeiro, note que H é uma matriz idempotente: ${\displaystyle H^{2}=X(X^{\top }X)^{-1}X^{\top }X(X^{\top }X)^{-1}X^{\top }=XI(X^{\top }X)^{-1}X^{\top }=H.}$ Como também, observe que a ${\displaystyle H}$ é simétrica. Desse nodo, quando igualamos a ii elemento de H ao H ², nos temos

${\displaystyle h_{ii}=h_{ii}^{2}+\sum _{j\neq i}h_{ij}^{2}\geq 0}$

e${\displaystyle h_{ii}\geq h_{ii}^{2}\implies h_{ii}\leq 1.}$

Se temos uma ordinário dos mínimos quadrados com uma configuração fixa de X, erros de regressão ${\displaystyle \epsilon _{i},}$ e

${\displaystyle Y=X\beta +\epsilon }$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon )=\sigma ^{2}I}$

em seguida, ${\displaystyle \operatorname {Var} (e_{i})=(1-h_{ii})\sigma ^{2}}$ onde ${\displaystyle e_{i}=Y_{i}-{\hat {Y}}_{i}}$ (onde o i-ésimo é a regressão residual).

Em outras palavras, se o modelo de erros ${\displaystyle \epsilon }$ é homoscedástico, a observação do ponto de alavancagem determina o grau de diferenças no modelo de desvio de ramo dessa observação.

Antecipadamente, observe que ${\displaystyle I-H}$ é idempotente e simétrica. Isso significa,

${\displaystyle \operatorname {Var} (e_{i})=(1-h_{ii})\sigma ^{2}.}$

Os resíduos de studentizados — são resíduos ajustados para sua observação específica residual de variância e, em seguida, é

${\displaystyle t_{i}={e_{i} \over {\widehat {\sigma }}{\sqrt {1-h_{ii}\ }}}}$

onde ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}}$ é uma estimativa apropriada de ${\displaystyle \sigma .}$

• Matriz de projeção – one as entradas da diagonal principal são os pontos de alavancagens de observações
• Mahalanobis a distância – uma medida de alavancagem de um ponto de referência
• Distância de Cook– uma medida de alterações nos coeficientes de regressão quando uma observação é eliminado
• DFFITS
• Os Outliers – extremos valores de Y nas observações

Referências