A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento destes, sendo empregada em diversos campos de estudo, tais como física, química, biologia, economia e engenharias. Ou seja, a modelagem matemática consiste na atividade (ou tentativa) de descrever matematicamente um fenômeno.

Além desses aspectos a Modelagem matemática pode ser utilizada para o Ensino de Matemática, nesse sentido, a modelagem é concebida como uma estratégia de ensino. Para Costa (2018)^[1] Modelagem pode ser compreendida como uma metodologia de ensino que possibilita ao estudante abordar conteúdos matemáticos a partir de fenômenos de sua realidade, e tem como objetivo explicar matematicamente situações do cotidiano, das mais diferentes áreas da Ciência, com o propósito de educar matematicamente. Ela permite uma inversão do “modelo comum” de ensino, visto que, por meio da modelagem selecionam-se primeiramente os problemas e deles emergem os conteúdos matemáticos, de modo a resolvê-los.

Para quem utiliza essa metodologia de ensino fica perceptível que sua principal característica é promover situações em que os estudantes assimilem conhecimentos matemáticos a partir de situações reais. No entanto, há diferentes concepções sobre como aplicar a Modelagem no ensino.

Para Costa (2016)^[2] existem dois modos para realizar a modelagem em sala de aula: um deles é que os fenômenos estudados devem partir dos alunos e o outro, que esses podem partir do professor ou dos alunos. No entender desse autor, existem pontos positivos e negativos em cada uma das escolhas. No caso da escolha do tema gerador partindo do aluno, entende-se que ele sentir-se-á mais envolvido no processo de ensino-aprendizagem, pois o tema partiu de suas escolhas, mas entende-se que nesse caso o tema pode gerar uma Matemática que não é próxima ao conhecimento da turma.

Já quando a escolha parte do professor, o tema gerador é conhecido por ele e deste modo, espera-se que o conceito matemático a ser ensinado seja próximo aos conhecimentos dos estudantes, mas pela escolha ter partido do professor, os estudantes podem não se envolver tanto na realização da atividade. Entende-se que, com a o ensino na perspectiva da modelagem matemática, não existe mais um currículo neutro, descontextualizado e sem significado, pois ele parte de fenômenos presentes na realidade do estudante, nesse caso o ensino é constantemente reconstruído pelos professores e estudantes.

Sadovsky (2010, p. 103)^[3] considera que frequentemente os professores afirmam que “a matemática está em toda parte” para convencer seus alunos da importância de seu estudo. Embora seu estudo seja, sim, relevante, a Matemática não é visível em toda parte. A frase “soa” tão distante da experiência dos estudantes, que dificilmente será capaz de motivá-los de alguma maneira interessante para o ensino.

Assim acredita-se que com a modelagem podemos ensinar Matemática de modo que os alunos percebam a matemática no seu cotidiano, deste modo, eles podem perceber que realmente a matemática está em toda parte.

Modelagem Matemática está diretamente relacionada com a resolução de problemas e com os procedimentos. O fim da Modelagem é ter um modelo matemático que seja a solução do problema inicial. Na Educação Básica, a Modelagem é vista como uma alternativa pedagógica na qual é utilizada uma situação problema real ou da própria Matemática. Alguns aspectos são importantes no desenvolvimento dos trabalhos com modelagem: investigação autônoma (trabalho em grupo), ciclo de modelagem e temas do mundo real. A ideia é fazer modelagem para aprender matemática, ou seja, os Modelos Matemáticos precisam ser significativos com situações-problemas úteis e possíveis de serem resolvidas e discutidas.

Dentre as diferentes formas e métodos de modelagem tem-se a modelagem via autômatos celulares e equações diferenciais, parciais ou ordinárias. A modelagem matemática via equações diferenciais tem um papel de enorme destaque, visto que tal técnica tem sido utilizada para modelar fenômenos desde o século XVII por Malthus e Verhulst,no final dos anos 1700 ^[4]. Então, pode-se dizer que um modelo matemático é desenvolvido para simular a realidade usando a linguagem matemática. ^[5].

Os modelos matemáticos se subsidiam, por exemplo, das leis da física (como as leis de Kirchhoff para sistemas elétricos e as leis de Newton para mecânicos) ou dados experimentais.

Frequentemente, os modelos atingem grau de sofisticação suficiente para justificar ferramentas computacionais, envolvendo sistemas de equações diferenciais. Softwares como MATLAB e Scilab contam com recursos focados nas soluções de tais modelos.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais é, normalmente, feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Então, tal modelo matemático será também composto por parâmetros (constantes), que são intrínsecas ao sistema a ser estudado; variáveis que afetam o sistema, porém o modelo não foi designado para estudar seu comportamento (variáveis independentes) e as variáveis as quais o modelo foi designado para estudar (variáveis dependentes). Quando o sistema em questão busca retratar um fenômeno que consiste na interação entre duas ou mais entidades, então a modelagem é feita através de um sistema de equações diferenciais ^[5]. O modelo Lotka-Volterra (ou presa-predador), por exemplo, desenvolvido na década de 1920, é dado por:

${\displaystyle \,\!\left\{{\begin{matrix}x'(t)=ax+bx(t)y(t)\\y'(t)=-cy+dx(t)y(t)\end{matrix}}\right.}$

Em que ${\displaystyle \,\!a,b,c}$ e ${\displaystyle \,\!d}$ são os parâmetros, ${\displaystyle \,\!x(t)}$ e ${\displaystyle \,\!y(t)}$ são as variáveis dependentes, respectivamente a população de presas e predadores e ${\displaystyle \,\!t}$ é a variável independente, o tempo neste caso. Para se estudar um modelo matemático de equações diferenciais, de uma maneira geral, devem ser seguidos alguns passos:

• Obtenção dos pontos de equilíbrio:

Consiste em fazer ${\displaystyle \,\!x'(t)=0}$ e ${\displaystyle \,\!y'(t)=0}$, resolver o sistema resultante e obter os valores de ${\displaystyle \,\!x(t)}$ e ${\displaystyle \,\!y(t)}$ no equilíbrio, ou seja, quanto as respectivas taxas de variação são zero;

• Obter a Matriz jacobiana do sistema;

• Calcular a Matriz jacobiana nos pontos de equilíbrio obtidos acima;

• Obter os autovalores da matriz e fazer a seguinte análise de estabilidade:

1. Para autovalores reais, o ponto será estável se todos os autovalores forem menores que zero, instável se todos forem maiores que zero e ponto cela se apresentarem ambas as situações;
2. Para autovalores complexos, o ponto será uma espiral estável se os autovalores tiverem a parte real negativa, espiral instável se a parte real for positiva e um centro se a parte real for nula.

• Analisar o retrato de fase do sistema.

Os modelos matemáticos apresentam uma série de aspectos úteis do ponto de vista científico. Além de apresentar naturalmente uma linguagem concisa, que pode vir a facilitar sua manipulação, um modelo matemático traz também aspectos como a possibilidade de confirmar ou rejeitar determinadas hipóteses relacionadas a complexos sistemas, revelar contradições em dados obtidos e/ou hipóteses formuladas, prever o comportamento de um sistema sob condições não testadas ou ainda não “testáveis”, dentre outros ^[5].

Por outro lado, quanto maior é a proximidade do modelo com a realidade, mais complexo será o modelo. Isto significa um maior numero de parâmetros e conseqüentemente uma maior dificuldade tanto na obtenção de dados a partir do modelo quanto na interpretação desses dados gerados pelo modelo em questão.

Modelos simples são mais fáceis de lidar, porém modelos mais sofisticados são frequentemente necessários. É importante ressaltar que as previsões do comportamento de um determinado modelo matemático, caso se faça necessário dependendo de sua complexidade, se dão através de simulações computacionais do mesmo. Caso o modelo seja suficientemente simples, teorias matemáticas são eficientes ferramentas para se obter conclusões gerais. Então, pode-se dizer que ao desenvolver um modelo matemático busca-se um ponto ótimo entre a representação da realidade e a complexidade do modelo, para que a obtenção de resultados coerentes seja possível, bem como sua interpretação. Segundo Howard Emmons, “o desafio em modelagem matemática não é produzir os modelos descritivos mais compreensíveis, mas sim produzir modelos suficientemente simples que incorporam as principais características do fenômeno em questão”. Portanto, a modelagem matemática ajuda a evitar ou reduzir a necessidade de gastos excessivos em experimentos, ou até mesmo simular experimentos impossíveis de serem realizados na prática.

Vamos estudar, neste exemplo o comportamento do sistema Lotka-Volterra. O sistema Lotka-Volterra apresenta uma tendência de oscilar, como tem sido observado a mais de um século atrás.

Antes de chegar às equações do modelo, é interessante levantar algumas considerações feitas por Volterra de modo a simplificar o sistema^[4]:

1. As presas crescem de uma maneira ilimitada quando os predadores não as mantêm sob controle;
2. Os predadores dependem da presença de suas presas para sobreviverem;
3. A taxa de predação depende da probabilidade com a qual a vítima é encontrada pelo predador;
4. A taxa de crescimento da população de predadores é proporcional à comida ingerida por eles (taxa de predação).

Feitas essas considerações, o modelo é dado por:

${\displaystyle \,\!\left\{{\begin{matrix}x'(t)=ax+bx(t)y(t)\\y'(t)=-cy+dx(t)y(t)\end{matrix}}\right.}$

Em que:

• o termo ${\displaystyle \,\!xy}$ está associado à probabilidade de encontro entre presas e predadores;
• a razão ${\displaystyle \,\!d/b}$ é análoga à eficiência de predação, isto é, a eficiência de converter uma unidade de presa em uma unidade de predador.

Visto isso, podemos começar o estudo do comportamento do modelo:

• Obtenção dos pontos de equilíbrio:

Das equações acima, temos

${\displaystyle \,\!\left\{{\begin{matrix}ax+bx(t)y(t)=0\\-cy+dx(t)y(t)=0\end{matrix}}\right.}$

Então, os pontos de equilíbrio serão:
${\displaystyle \,\!(x_{1},y_{1})=(c/d,a/b)}$ e ${\displaystyle \,\!(x_{2},y_{2})=(0,0)}$

• Matriz jacobiana do sistema:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}a-by&-bx\\dy&-c+dx\end{bmatrix}}}$

• Análise de estabilidade:

Para o ponto ${\displaystyle \,\!(x_{1},y_{1})=(c/d,a/b)}$, temos:

${\displaystyle J(x_{1},y_{1})={\begin{bmatrix}0&-bc/d\\da/b&0\end{bmatrix}}}$

Os autovalores são:
${\displaystyle \,\!r_{1}={\sqrt {(ac)}}i}$.
e ${\displaystyle \,\!r_{2}=-{\sqrt {(ac)}}i}$.
Portanto, o ponto ${\displaystyle \,\!(x_{1},y_{1})}$ é um centro.

Para o ponto ${\displaystyle \,\!(x_{2},y_{2})=(0,0)}$, temos:

${\displaystyle J(x_{2},y_{2})={\begin{bmatrix}a&0\\0&-c\end{bmatrix}}}$

Os autovalores são:
${\displaystyle \,\!r_{1}=c}$.
e ${\displaystyle \,\!r_{2}=-a}$.
Portanto, o ponto ${\displaystyle \,\!(x_{2},y_{2})}$ é um ponto de sela.

Ao observar o ponto ${\displaystyle \,\!(x_{1},y_{1})}$, nota-se que o equilíbrio das presas é independente da sua própria taxa de crescimento ou mortalidade, visto que ${\displaystyle \,\!x_{1}=c/d}$. Esta observação vale também para o ponto ${\displaystyle \,\!y_{2}=a/b}$, com relação aos predadores.

Referências

• Modelo (matemática)
• Modelo físico