Uma medida de dependência é um parâmetro associado a um par de variáveis aleatórias que codifica em seu valor a intensidade da dependência estatística entre as variáveis. Similarmente uma medida de concordância é um parâmetro que, além de dar informação a respeito da dependência estatística, também é capaz de informar a respeito da correlação entre a direção de movimento dessas variáveis.

De maneira informal e grosseira, uma medida de dependência diz quanta informação se obtém a respeito de uma variável quando o valor de outra variável é conhecido. Exemplos de candidatos à medida de dependência são a covariância e a correlação (a rigor a correlação seria candidata a medida de concordância e seu módulo a medida de dependência). Ambas carregam alguma informação a respeito de quanto o conhecimento de uma variável informa sobre sobre o valor da outra. Entretanto há algumas ressalvas a esse respeito:

• é possível obter variáveis que não são estatísticamente independentes e no entanto possuem correlação nula.
• a correlação é invariante por mudanças lineares de parâmetros, mas não é invariante por mudanças monotônicas de variáveis gerais, ou seja, em geral ${\displaystyle \rho (X,Y)\neq \rho (f(X),g(Y))}$. Isso significa que uma mera mudança de escala pode mudar sua conclusão a respeito da intensidade da dependência, o que é algo indesejável.
• além disso em geral não é possível demonstrar que uma correlação máxima (${\displaystyle |\rho (X,Y)|=1}$) implica uma dependência monotônica entre as variáveis ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$.

Renyi estipulou um conjunto de exigências ou requisitos do que é razoável supor sobre boas medidas de dependência.^[1][2] Segundo essa lista de exigências, uma medidas de dependência ${\displaystyle \delta (X,Y)}$ é um funcional da distribuição conjunta de qualquer par de variáveis X e Y com as seguintes propriedades:

1. O funcional é simétrico na permutação de X e Y: ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=\delta (Y,X)}$;
2. ${\displaystyle 0\leq \delta \left(X,Y\right)\leq 1}$, com ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=0}$ se e somente se X e Y são estatisticamente independentes e ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=1}$ se e somente se Y é, quase certamente, uma função estritamente monotônica de X;
3. se f(.) e g(.) são duas funções estritamente monotônicas de seus argumentos, então ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=\delta (f(X),g(Y))}$;
4. no caso em que a distribuição conjunta de X e Y é uma distribuição normal, ${\displaystyle \delta (X,Y)}$ deve ser uma função monotônica do módulo da correlação;
5. se a sequencia ${\displaystyle (X_{n},Y_{n})}$ converge para ${\displaystyle (X,Y)}$ então ${\displaystyle \delta (X_{n},Y_{n})}$ converge para ${\displaystyle \delta (X,Y)}$.

Pode-se adaptar esses requisitos para medidas de concordância ajustando-se apenas os (2 - 4) da seguinte forma:

2. ${\displaystyle -1\leq \delta \left(X,Y\right)\leq 1}$, com ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=0}$ se e somente se X e Y são estatisticamente independentes, ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=1}$ se e somente se Y é quase certamente uma função monotônica crescente de X e ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=-1}$ se e somente se Y é, quase certamente, uma função monotônica decrescente de X.

3. Se f(.) e g(.) são funções monotônicas sendo ambas crescentes ou ambas decrescentes, então ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=\delta (f(X),g(Y))}$. Caso uma das funções seja decrescente e a outra crescente, então ${\displaystyle \delta \left(X,Y\right)=-\delta (f(X),g(Y))}$.

4. no caso em que a distribuição conjunta de X e Y é uma distribuição normal, ${\displaystyle \delta (X,Y)}$ deve ser uma função monotônica crescente da correlação;

Diversas medidas de concordância e dependência podem ser facilmente relacionadas às respectivas cópulas. De fato, pode-se argumentar que toda boa medida de concordância ou dependência deve ser unicamente um funcional da cópula e ser independente das distribuições marginais.^[3]

O tau de Kendall é definido como:

${\displaystyle \tau ={\frac {n_{c}-n_{d}}{{\frac {1}{2}}{n(n-1)}}}}$

onde ${\displaystyle n_{c}}$ é o número de pares concordantes, e ${\displaystyle n_{d}}$ é o número de pares discordantes do conjunto de dados. Alternativamente, ${\displaystyle \tau }$ é a probabilidade de que dois pontos sorteados da distribuição conjunta sejam concordantes, ou seja:

${\displaystyle \tau =\operatorname {Prob} \left[(X-X')(Y-Y')>0\right]}$

O Tau de Kendall pode ser escrito como um funcional da cópula:

${\displaystyle \tau =4\int C(u,v)dC(u,v)}$

O coeficiente de correlação rho de Spearman é definido como a correlação entre os postos de X e Y. Pode ser escrito como função da cópula da seguinte forma:

${\displaystyle \rho =12\int uvdC(u,v)-3}$

A informação mútua é definida da seguinte forma:

${\displaystyle I=\int dxdyP(x,y)\log {\frac {P(x,y)}{P(x)P(y)}}=S(X)+S(Y)-S(X,Y)=S(X)-S(X|Y)}$,

onde S(.) é a entropia de Shannon. A informação mútua possui muitas interpretações do ponto de vista de teoria da informação, e pode ser compreendida como a diminuição na incerteza de uma das variáveis proporcionada pelo conhecimento da outra. A informação mútua pode ser estimada a partir de amostras de X e Y através do algoritmo de k-vizinhos de Kraskov-Stogbauer- Grassberger.^[4]

Duas variáveis chamadas dependência na cauda superior e dependência na cauda inferior (upper and lower tail dependence) são usadas para caracterizar o aumento de dependência entre duas variáveis quando ocorrem eventos extremos. A dependência na cauda superior é definida como:

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {sup} }=\lim _{u\rightarrow 1}\operatorname {Prob} \left[X>F_{X}^{-1}(u)|Y>F_{Y}^{-1}(u)\right]}$,

ou seja, a probabilidade de que se observe um valor de X maior no u-ésimo quantil dado que Y foi observado no u-ésimo quantil, no limite em que u se aproxima de 1. A dependência na cauda inferior é definida de forma similar.

Em função da cópula, as dependências na cauda são escritas como:

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {sup} }=\lim _{u\rightarrow 1}{\frac {1-2u+C(u,u)}{1-u}}}$

${\displaystyle \lambda _{\mathrm {inf} }=\lim _{u\rightarrow 0}{\frac {C(u,u)}{u}}}$

• Estatística
• Teoria das probabilidades
• Dependência Estatística
• Teoria da Informação

Referências

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