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Lógica clássica identifica uma classe de Lógica matemática que têm sido mais intensamente estudado e mais amplamente utilizado. A lógica clássica, também conhecida como lógica aristotélica ou lógica bivalente, é a forma tradicional de lógica formal. Ela foi amplamente desenvolvida a partir dos trabalhos de Aristóteles, embora tenha evoluído significativamente ao longo dos séculos. A lógica clássica baseia-se em alguns princípios fundamentais e possui uma estrutura bem definida para avaliar a validade de proposições e argumentos^[1]

A classe é, por vezes, chamada de lógica padrão.^[2]^[3] Elas são caracterizadas por um número de propriedades:^[4]

Lei do terceiro excluído e Dupla negação;
Princípio da não contradição, e o Princípio de explosão;
Monotonicidade de vinculação e Idempotência de vinculação;
Comutatividade da conjunção;
Teoremas de De Morgan: cada conectivo lógico é duplo a outro;

Enquanto não implicou com as condições anteriores, as discussões contemporâneas da lógica clássica normalmente incluem apenas Lógica proposicional e Lógica de primeira ordem.^[5]^[6]

A semântica da lógica clássica é bivalente. Com o advento da lógica algébrica tornou-se evidente que o cálculo proposicional clássico admite outras semânticas. Elementos intermediários da álgebra correspondem a outros valores, exceto "verdadeiro" e "falso". O princípio da bivalência prende somente quando a álgebra booleana é considerado como sendo a álgebra de dois elementos, o que não tem elementos intermediários.

Aqui estão os principais detalhes:

Princípios Fundamentais da Lógica Clássica

1. Princípio da Identidade:

- Esse princípio afirma que uma proposição é idêntica a si mesma. Ou seja, se uma proposição \(P\) é verdadeira, então \(P\) é verdadeiramente \(P\). Matematicamente, isso é expresso como \(P = P\).

- Garante a consistência das definições e proposições dentro de um sistema lógico.

2. Princípio da Não-Contradição:

- Estabelece que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Se \(P\) é verdadeira, então \(P\) não pode ser falsa.

- Formalmente, isso é expresso como \(\neg (P \land \neg P)\), onde \(\neg\) representa a negação e \(\land\) representa a conjunção.

3. Princípio do Terceiro Excluído:

- Afirma que uma proposição é ou verdadeira ou falsa, sem meio-termo. Isso significa que para qualquer proposição \(P\), ou \(P\) é verdadeira ou a sua negação (\(\neg P\)) é verdadeira.

- Em termos formais, \(P \lor \neg P\) sempre será verdadeira, onde \(\lor\) representa a disjunção.

Estrutura da Lógica Clássica

A lógica clássica lida principalmente com **proposições** e **argumentos**. Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser avaliada como verdadeira ou falsa, e um argumento é uma sequência de proposições em que uma ou mais premissas suportam uma conclusão.

1. Proposições Simples e Compostas

- Proposições simples: São sentenças básicas que não contêm operadores lógicos. Exemplo: "A grama é verde."

- Proposições compostas: Formadas pela combinação de proposições simples usando operadores lógicos. Exemplo: "A grama é verde e o céu é azul."

2. Operadores Lógicos

Os operadores lógicos são usados para combinar ou modificar proposições. Os principais são:

- Negação: Inverte o valor de verdade de uma proposição. Se \(P\) é verdadeira, \(\neg P\) será falsa.

- Conjunção: A proposição \(P \land Q\) é verdadeira somente se tanto \(P\) quanto \(Q\) forem verdadeiras.

- Disjunção: A proposição \(P \lor Q\) é verdadeira se pelo menos uma das proposições (\(P\) ou \(Q\)) for verdadeira.

- Implicação: A proposição \(P \rightarrow Q\) é verdadeira se, sempre que \(P\) for verdadeira, \(Q\) também for verdadeira.

- Bicondicional: A proposição \(P \leftrightarrow Q\) é verdadeira se \(P\) e \(Q\) tiverem o mesmo valor de verdade.

Tabelas de Verdade

As tabelas de verdade são ferramentas usadas para avaliar o valor de verdade de proposições compostas, considerando todos os possíveis valores de verdade das proposições componentes. Por exemplo, a tabela de verdade para a conjunção \(P \land Q\) é:

| P | Q | P ∧ Q |

|-------|-------|-------|

| V | V | V |

| V | F | F |

| F | V | F |

| F | F | F |

Silogismos e Regras de Inferência

A lógica clássica também inclui regras para raciocínio dedutivo, como silogismos (argumentos que têm duas premissas e uma conclusão) e regras de inferência que determinam como derivar conclusões válidas a partir de premissas. Por exemplo:

- Silogismo categórico:

- Premissa 1: Todos os homens são mortais.

- Premissa 2: Sócrates é um homem.

- Conclusão: Portanto, Sócrates é mortal.

- Modus Ponens (regra de inferência):

- Premissa 1: Se \(P\), então \(Q\).

- Premissa 2: \(P\) é verdadeira.

- Conclusão: Portanto, \(Q\) é verdadeira.

Limitações da Lógica Clássica

Embora seja a base de muitos sistemas de raciocínio, a lógica clássica tem limitações:

1. Bivalência: Assume que todas as proposições são verdadeiras ou falsas, o que não permite lidar bem com situações de incerteza ou indefinição.

2. Contradições: A lógica clássica considera qualquer sistema com contradições como inválido (tudo pode ser provado verdadeiro), o que é problemático em contextos onde inconsistências existem temporariamente.

3. Inadequação para algumas formas de raciocínio: Não lida bem com conceitos como possibilidade, necessidade ou estados de coisas que mudam com o tempo (para isso, lógicas modais e temporais são usadas).

A lógica clássica é uma ferramenta poderosa para raciocínio formal e continua sendo fundamental na matemática, filosofia e ciência da computação. Ela fornece uma base sólida para o desenvolvimento de sistemas lógicos mais complexos que abordam suas limitações.

Exemplos da lógica clássica

No Organon, Aristóteles introduz a sua teoria de Silogismo, que é uma lógica de uma forma restrita de decisões: as afirmações tomam uma de quatro formas, Todos P são Q, Alguns P são Q, Nenhum P é Q, e alguns P não são Q. Estes julgamentos encontram-se se dois pares de dois operadores duplos, e cada operador é a negação do outro, as relações que Aristóteles resumiu com o seu Quadrado das oposições. Aristóteles explicitamente formulou a lei do terceiro excluído e da lei da não-contradição ao justificar o seu sistema, embora essas leis não possam ser expressas como julgamentos no âmbito silogístico.
George Boole's reformulação algébrica da lógica, o seu sistema de Álgebra booleana;
A lógica de primeira ordem encontrada em Gottlob Frege's Begriffsschrift.

Lógicas não-clássicas

Lógica computacional é uma teoria formal semanticamente construído de computabilidade, em oposição à lógica clássica, que é uma teoria formal de verdade, se integra e se estende a lógica clássica, linear e lógica intuicionista;
Lógica polivalente, incluindo a lógica fuzzy, que rejeita a lei do terceiro excluído e permite que um valor de verdade seja qualquer número real entre 0 e 1;
Lógica intuicionista rejeita a lei do terceiro excluído, a eliminação dupla negativa, e as leis de a De Morgan;
Lógica linear rejeita idempotência de vinculação;
Lógica modal estende a lógica clássica com operadores não-verdade-funcionais ("modal");
Lógica paraconsistente (por exemplo, dialeteísmo e lógica da relevância) rejeita a lei da não-contradição;
Lógica da relevância, a lógica linear e lógica não-monotônica rejeita a monotonicidade de vinculação;

Em Deviant Logic, Fuzzy Logic: Beyond the Formalism, Susan Haack dividiu lógicas não-clássicas em lógicas desviantes, quase desviante, e lógica estendida.^[6]

Referências

↑ Hurley, Patrick J. (2014). A concise introduction to logic 12. ed ed. Stamford: Cengage Learning !CS1 manut: Texto extra (link)
↑ Nicholas Bunnin; Jiyuan Yu (2004). The Blackwell dictionary of Western philosophy. [S.l.]: Wiley-Blackwell. p. 266. ISBN 978-1-4051-0679-5
↑ L. T. F. Gamut (1991). Logic, language, and meaning, Volume 1: Introduction to Logic. [S.l.]: University of Chicago Press. pp. 156–157. ISBN 978-0-226-28085-1
↑ Gabbay, Dov, (1994). 'Classical vs non-classical logic'. In D.M. Gabbay, C.J. Hogger, and J.A. Robinson, (Eds), Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, volume 2, chapter 2.6. Oxford University Press.
↑ Shapiro, Stewart (2000). Classical Logic. In Stanford Encyclopedia of Philosophy [Web]. Stanford: The Metaphysics Research Lab. Retrieved October 28, 2006, from http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/
↑ ^a ^b Haack, Susan, (1996). Deviant Logic, Fuzzy Logic: Beyond the Formalism. Chicago: The University of Chicago Press.

Outras leituras

Graham Priest, An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is, 2nd Edition, CUP, 2008, ISBN 978-0-521-67026-5
Warren Goldfard, "Deductive Logic", 1st edition, 2003, ISBN 0-87220-660-2