Na lógica proposicional, implicação material ^[1][2] é uma regra de substituição válida que permite que uma sentença condicional seja substituída por uma disjunção em que o antecedente é negado. A regra determina que P implica Q é logicamente equivalente à não-P ou Q e pode substituir o outro em provas lógicas.

${\displaystyle P\to Q\Leftrightarrow \neg P\lor Q}$

Onde "${\displaystyle \Leftrightarrow }$"é um símbolo metalógico que representa "pode ser substituído em uma prova."

A regra da implicação material pode ser escrita em notação de sequente:

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg P\lor Q)}$

onde ${\displaystyle {\displaystyle \vdash }}$ é um símbolo metalógico significando que ${\displaystyle (\neg P\lor Q)}$ é uma consequência lógica de ${\displaystyle (P\to Q)}$ em alguns sistemas lógicos;

ou na regra de inferência:

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\neg P\lor Q}}}$

onde a regra é que, sempre que uma instância de "${\displaystyle {\displaystyle (P\to Q)}}$"é exibida em uma linha de uma prova, ela pode ser substituída por "${\displaystyle \neg P\lor Q}$";

ou como a afirmação de uma verdade-funcional, tautologia ou teorema da lógica proposicional:

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg P\lor Q)}$

Um exemplo é:

Se ele é um urso (P), então ele pode nadar (Q).

Assim, ele não é um urso ou ele pode nadar.

Se for descoberto que o urso não podia nadar, escrito simbolicamente como ${\displaystyle P\land \neg Q}$, ambas as sentenças são falsas, mas caso contrário, elas são ambas verdadeiras.