Em geral, pode-se dizer que uma função é uma regra que associa cada elemento de seu domínio a um elemento da sua imagem.

Uma função vetorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cuja imagem é um conjunto de vetores multidimensionais, enquanto o domínio é um conjunto de números reais. A área da matemática responsável pelo estudo das funções vectoriais é a análise vectorial e estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo^[1] e de Análise Real^[2].

Uma Função Vetorial é uma função, que denotaremos por f, definida num subconjunto I de R a valores num subconjunto de um espaço vetorial real, ou seja,

${\displaystyle \mathbf {f} }$ : I ⇒ R³; t ⇒ ${\displaystyle \mathbf {f(t)} }$ ${\displaystyle =(f1(t),f2(t),f3(t)),}$

em que:

- ${\displaystyle f1(t)}$, ${\displaystyle f2(t)}$, ${\displaystyle f3(t)}$ são as funções componentes de ${\displaystyle f}$;

- I corresponde ao intervalo da reta de número reais tomada como o domínio da função vetorial;

- f corresponde ao conjunto de todos os valores para os quais as componentes estão definidas, possíveis de serem assumidos para t.

Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro real t, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial ${\displaystyle v(t)}$ como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões ${\displaystyle \mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ e ${\displaystyle \mathbf {k} }$ de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo:

• ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$;
• ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$

onde ${\displaystyle f(t)}$, ${\displaystyle g(t)}$, ${\displaystyle h(t)}$ são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$.

Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:

• ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t)\rangle }$;
• ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle }$

Considerando uma função vetorial da forma:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

Ela tem seu módulo, ou norma, definido pela raiz quadrada do produto escalar da função por ela mesma, como mostrado abaixo:

|r(t)|= (r(t) . r(t))1/2 = (x(t)2 + y(t)2 + z(t)2)1/2

Dada uma função vetorial ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$ definimos o limite de ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ quando ${\displaystyle t}$ tende a ${\displaystyle t_{0}}$ em cada uma das suas funções componentes, conforme segue:

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t):=\left(\lim _{t\to t_{0}}f(t)\right)\mathbf {i} +\left(\lim _{t\to t_{0}}g(t)\right)\mathbf {j} }$

Desde que os limites de cada um das funções existam. A definição de limite para funções vetoriais no espaço é análoga.

Dizemos, ainda, que ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é contínua em ${\displaystyle t=t_{0}}$ quando esta satisfaz as seguintes três propriedades:

• ${\displaystyle t_{0}}$ pertence ao domínio de ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$
• existe o ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t)}$
• ${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (t_{0})}$

Dizemos que ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.

Dada uma função vetorial ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$ definimos a derivada de ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ em relação a ${\displaystyle t}$ por:

${\displaystyle \mathbf {r} '(t)={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}(t)=\lim _{t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}$

Dizemos que ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é derivável (diferenciável) em ${\displaystyle t=t_{0}}$ quando ${\displaystyle \mathbf {r} '(t_{0})}$ existe. Além disso, dizemos que ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.

Segue da definição de derivada que ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} }$. Além disso, vemos que ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$.

Sejam ${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$ e ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ funções vetoriais diferenciáveis, ${\displaystyle \mathbf {c} }$ um vetor constante, ${\displaystyle f(t)}$ uma função escalar diferenciável e ${\displaystyle c}$ um número real. Valem as seguintes regras de derivação:

• ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {c} }{dt}}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[c\mathbf {u} (t)\right]=c{\frac {d\mathbf {u} (t)}{dt}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[f(t)\mathbf {u} \right]={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {u} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {u(t)} }{dt}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[\mathbf {u} (t)\pm \mathbf {v} (t)\right]={\frac {d\mathbf {u} (t)}{dt}}\pm {\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[\mathbf {u} (t)\cdot \mathbf {v} (t)\right]={\frac {d\mathbf {u} (t)}{dt}}\cdot \mathbf {v} (t)+\mathbf {u} (t)\cdot {\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[\mathbf {u} (f(t))\right]=f'(t)\mathbf {u} '(f(t))}$

O ponto "${\displaystyle \cdot }$" na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.

Seja ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço bi ou tridimensional, dado por ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$ ou ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {j} }$ assume-se que a função ${\displaystyle \mathbf {r'} (t)}$ é a velocidade da partícula e, também, um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula em cada instante do tempo t.

Visto isso, como a primeira derivada da função r(t), é a velocidade do corpo em determinado tempo t, a segunda derivada da função, a ${\displaystyle \mathbf {r''} (t)}$, analogamente, corresponde à sua aceleração.

Dada uma função vetorial ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$, definimos sua integral indefinida em relação a ${\displaystyle t}$ por:

${\displaystyle \int \mathbf {r} (t)dt=\mathbf {R} (t)+\mathbf {c} }$

onde ${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$ é uma primitiva de ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$, i.e. ${\displaystyle \mathbf {R} '(t)=\mathbf {r} (t)}$, e ${\displaystyle \mathbf {c} }$ é um vetor indeterminado.

Além disso, se ${\displaystyle \mathbf {R} (t)}$ é qualquer primitiva de ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ no intervalo ${\displaystyle [a,~b]}$, então a integral definida de ${\displaystyle \mathbf {r} }$ de ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle b}$ é dada por:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {r} (t)dt=\mathbf {R} (b)-\mathbf {R} (a)}$

que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} }$ com ${\displaystyle f(t)}$ e ${\displaystyle g(t)}$ funções integráveis em ${\displaystyle [a,~b]}$, então:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {r} (t)dt=\left(\int _{a}^{b}f(t)dt\right)\mathbf {i} +\left(\int _{a}^{b}g(t)dt\right)\mathbf {j} }$.

Vale resultado análogo para ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }$.

Existem duas categorias de funções vetoriais: as que dependem de somente uma variável, da forma F(t); e as que dependem de múltiplas variáveis, onde se destacam os campos vectoriais. Esses são funções vectoriais mais gerais, dependentes simultaneamente, por exemplo, do tempo e de coordenadas espaciais. Como exemplo prático de campo vectorial tem-se o campo elétrico da forma E(x,y,z,t), onde "x", "y" e "z" representam as coordenadas espaciais e "t" o tempo.

O conceito de funções vectoriais é aplicado em diversos ramos da Física e das Engenharias, dentre eles tem-se os conceitos de: velocidade, aceleração, força, torque, momento linear, momento angular, campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, equação do calor, equação da onda entre outros.

• Campo vectorial
• Parametrização
• Cálculo vectorial

Referências

• STRAUCH, Irene, Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS.
• AMARAL, Luis Fernando Coelho, Análise Vetorial, Universidade Federal do Maranhão.

• «Funções Vetoriais e Curvas no Espaço» 
• Weisstein, Eric W. «Vector Function». MathWorld (em inglês) 
• «Vector-valued functions and their properties (from Lake Tahoe Community College)» (em inglês) 

• Portal da matemática