A função tau de Ramanujan, estudada por Ramanujan, é a função ${\displaystyle \tau :\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }$ definido pela seguinte identidade:

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}$

onde ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$ com ${\displaystyle \Im z>0}$ e ${\displaystyle \eta }$ é a função eta de Dedekind e a função${\displaystyle \Delta (z)}$ é uma forma de cúspide holomórfica de peso 12 e nível 1, conhecida como forma modular discriminante. Aparece em conexão com um "termo de erro" envolvido na contagem do número de maneiras de expressar um número inteiro como uma soma de 24 quadrados. Uma fórmula devido a Ian G. Macdonald foi dada em Dyson (1972).

Os primeiros valores da função tau são dados na seguinte tabela (sequência A000594 na OEIS):

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
${\displaystyle \tau (n)}$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Ramanujan (1916) observou, mas não provou, as seguintes três propriedades de ${\displaystyle \tau (n)}$:

• ${\displaystyle \tau (mn)=\tau (m)\tau (n)}$ se ${\displaystyle \mathrm {mdc} (m,n)=1}$ (significa que ${\displaystyle \tau (n)}$ é uma função multiplicativa)
• ${\displaystyle \tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^{r})-p^{11}\tau (p^{r-1})}$ para ${\displaystyle p}$ primo e ${\displaystyle r>0}$.
• ${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2}}$ para todos os ${\displaystyle p}$ primos.

As duas primeiras propriedades foram provadas por Mordell (1917) e a terceira, chamada de conjectura de Ramanujan, foi provada por Deligne em 1974 como consequência de sua prova das conjecturas de Weil (especificamente, ele a deduziu aplicando-as a uma variedade Kuga-Sato).

Para ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ e ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$, defina ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ como a soma das ${\displaystyle k}$-ésimas potências dos divisores de ${\displaystyle n}$. A função tau satisfaz várias relações de congruência; muitas delas podem ser expressas em termos de ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$. Aqui estão algumas:^[1]

1. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}\ {\text{ para }}\ n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
2. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}\ {\text{ para }}\ n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
3. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}\ {\text{ para }}\ n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
4. ${\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}\ {\text{ para }}\ n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}$^[2]
5. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}\ {\text{ para }}\ n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
6. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}\ {\text{ para }}\ n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}$^[3]
7. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}\ {\text{ para }}\ n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}$^[4]
8. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7\ {\text{ para }}\ n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
9. ${\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}\ {\text{ para }}\ n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}$^[5]
10. ${\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}$^[6]

Para ${\displaystyle p\neq 23}$ primo, temos^[1][7]

1. ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23\ {\text{ se }}\ \left({\frac {p}{23}}\right)=-1}$
2. ${\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}\ {\text{ se }}\ p\ {\text{ é da forma }}\ a^{2}+23b^{2}}$^[8]
3. ${\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23\ {\text{ caso contrário}}.}$

Suponha que ${\displaystyle f}$ é um peso ${\displaystyle k}$ inteiro de nova forma e os coeficientes de Fourier ${\displaystyle a(n)}$ são inteiros. Considere o problema: Se ${\displaystyle f}$ não tem multiplicação complexa, prove que quase todos os primos ${\displaystyle p}$ têm a propriedade que ${\displaystyle a(p)\neq 0{\bmod {p}}}$. Na verdade, a maioria dos primos deve ter essa propriedade e, portanto, são chamados de comuns. Apesar dos grandes avanços de Deligne e Serre nas representações de Galois, que determinam ${\displaystyle a(n){\bmod {p}}}$ para ${\displaystyle n}$ coprimo com ${\displaystyle p}$, não temos nenhuma pista de como calcular ${\displaystyle a(n){\bmod {p}}}$. O único teorema a esse respeito é o famoso resultado de Elkies para curvas elípticas modulares, que de fato garante que existem infinitos primos ${\displaystyle p}$ para os quais ${\displaystyle a(p)=0}$, que por sua vez é obviamente ${\displaystyle 0{\bmod {p}}}$. Não conhecemos nenhum exemplo de ${\displaystyle f}$ não-CM com peso ${\displaystyle >2}$ para o qual ${\displaystyle a(p)\neq 0{\bmod {p}}}$ para infinitos números primos ${\displaystyle p}$ (embora deva ser verdadeiro para quase todos ${\displaystyle p}$). Também não conhecemos nenhum exemplo onde ${\displaystyle a(p)=0{\bmod {p}}}$ para um número infinito de ${\displaystyle p}$. Algumas pessoas começaram a duvidar se ${\displaystyle a(p)=0{\bmod {p}}}$ de fato para um número infinito de ${\displaystyle p}$. Como evidência, muitos forneceram o ${\displaystyle \tau (p)}$ de Ramanujan (caso de peso ${\displaystyle 12}$). O maior ${\displaystyle p}$ conhecido para o qual ${\displaystyle \tau (p)=0{\bmod {p}}}$ é ${\displaystyle p=7758337633}$. As únicas soluções para a equação ${\displaystyle \tau (p)\equiv 0{\bmod {p}}}$ são ${\displaystyle p=2,3,5,7,2411}$ e ${\displaystyle 7758337633}$ até ${\displaystyle 10^{10}}$.^[9]

Lehmer (1947) conjecturou que ${\displaystyle \tau (n)\neq 0}$ para todo ${\displaystyle n}$, uma afirmação às vezes conhecida como conjectura de Lehmer. Lehmer verificou a conjectura para ${\displaystyle n<214928639999}$.^[10] A tabela a seguir resume o progresso na descoberta de valores sucessivamente maiores de ${\displaystyle N}$ para o qual esta condição vale para todos ${\displaystyle n\leq N}$.

N	referência
3316799	Lehmer (1947)
214928639999	Lehmer (1949)
${\displaystyle 10^{15}}$	Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
1213229187071998	Jennings (1993)
22689242781695999	Jordan e Kelly (1999)
22798241520242687999	Bosman (2007)
982149821766199295999	Zeng e Yin (2013)
816212624008487344127999	Derickx, van Hoeij, e Zeng (2013)

• Apostol, T. M. (1997), «Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory», New York: Springer-Verlag 2nd Ed. 
• Ashworth, M. H. (1968), Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford) 
• Dyson, F. J. (1972), «Missed opportunities», Bull. Amer. Math. Soc., 78 (5): 635–652, Zbl 0271.01005, doi:10.1090/S0002-9904-1972-12971-9 
• Kolberg, O. (1962), «Congruences for Ramanujan's function τ(n)», Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), MR 0158873, Zbl 0168.29502 
• Lehmer, D.H. (1947), «The vanishing of Ramanujan's function τ(n)», Duke Math. J., 14: 429–433, Zbl 0029.34502, doi:10.1215/s0012-7094-47-01436-1 
• Lygeros, N. (2010), «A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)» (PDF), Journal of Integer Sequences, 13: Article 10.7.4 
• Mordell, Louis J. (1917), «On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19: 117–124, JFM 46.0605.01 
• Newman, M. (1972), A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067, National Bureau of Standards 
• Rankin, Robert A. (1988), «Ramanujan's tau-function and its generalizations», in: Andrews, George E., Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), ISBN 978-0-12-058560-1, Boston, MA: Academic Press, pp. 245–268, MR 938968 
• Ramanujan, Srinivasa (1916), «On certain arithmetical functions», Trans. Camb. Philos. Soc., 22 (9): 159–184, MR 2280861 
• Serre, J-P. (1968), «Une interprétation des congruences relatives à la fonction ${\displaystyle \tau }$ de Ramanujan», Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 14 
• Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), «On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms», in: Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III, ISBN 978-3-540-06483-1, Lecture Notes in Mathematics, 350, pp. 1–55, MR 0406931, doi:10.1007/978-3-540-37802-0 
• Wilton, J. R. (1930), «Congruence properties of Ramanujan's function τ(n)», Proceedings of the London Mathematical Society, 31: 1–10, doi:10.1112/plms/s2-31.1.1 

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