• Para função harmônica em música, veja funcionalidade diatônica

Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : U → R (onde U é um subconjunto aberto de Rⁿ) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$ ou ${\displaystyle \Delta f=0.}$

onde: ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ é o operador laplaciano e ${\displaystyle \Delta }$ é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:

• Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
• Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham, ${\displaystyle \Delta .}$

Nesse contexto, uma função é dita harmônica se ${\displaystyle \Delta f=0.}$

Uma ${\displaystyle C^{2}}$ função que satisfaz ${\displaystyle \Delta f\geq 0}$ é dita subarmônica.

Seja ${\displaystyle f\in C^{2}(U;\mathbb {R} )}$ uma função harmônica, ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ aberto. Então, para cada ${\displaystyle x\in U}$, temos:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS,\quad \forall B(x,r)\subset U}$

onde, ${\displaystyle \alpha (n)}$ é o volume da bola unitária em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle B(x,r)}$ é a bola de centro em ${\displaystyle x}$ e raio ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \partial B(x,r)}$ denota sua fronteira (a esfera de centro ${\displaystyle x}$ e raio ${\displaystyle r}$). Isto é, se ${\displaystyle f}$ é harmônica, então ${\displaystyle f(x)}$ é igual a sua média sobre qualquer esfera de centro ${\displaystyle x}$ e raio ${\displaystyle r}$ contida no seu domínio (veja, por exemplo, Evans (2010)^[1]).

Como consequência do resultado acima, podemos demonstrar que:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\alpha (n)r^{n}}}\int _{B(x,r)}fdy,\quad B(x,r)\subset U}$

isto é: se ${\displaystyle f}$ é harmônica, então ${\displaystyle f(x)}$ é igual a média de ${\displaystyle f}$ sobre qualquer bola de centro ${\displaystyle x}$ e raio ${\displaystyle r}$ contida em seu domínio.

Esse resultado também tem uma recíproca. Se ${\displaystyle f\in C^{2}(U,\mathbb {R} )}$ é tal que

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{n\alpha (n)r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}fdS,\quad \forall B(x,r)\subset U}$

então, ${\displaystyle f}$ é harmônica. Em outras palavras, uma função ${\displaystyle f}$ duas vezes continuamente diferenciável cuja média sobre cada esfera contida em seu domínio é igual a função aplicada no centro da mesma é uma função harmônica.

Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ é uma função harmônica com ${\displaystyle f\in C^{2}(U)\cap C({\bar {U}})}$, então ${\displaystyle \max _{\bar {U}}f=\max _{\partial U}f}$, bem como ${\displaystyle \min _{\bar {U}}f=\min _{\partial U}f}$. Aqui, ${\displaystyle U}$ é um conjunto aberto, ${\displaystyle {\bar {U}}}$ é o fecho de ${\displaystyle U}$.

Esta propriedade é consequência do princípio do máximo forte^[1], o qual estabelece que se, além das hipóteses acima, ${\displaystyle U}$ for conexo e existir ${\displaystyle x_{0}\in U}$ tal que ${\displaystyle f(x_{0})=\max _{\bar {U}}f}$ ${\displaystyle \left({\text{ou }}f(x_{0})=\min _{\bar {U}}f\right)}$, então ${\displaystyle f}$ é constante em ${\displaystyle U}$. Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio (veja acima).

• Equação de Laplace;
• Função anarmônica;
• Função subarmônica;
• Operadores diferenciais.

Referências

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