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 Nota: Este artigo é sobre funções algébricas em cálculo, análise matemática, e álgebra abstrata. Para funções em álgebra elementar, veja função (matemática).

Em matemática, uma função algébrica é uma função que pode ser expressa como: ${\displaystyle P_{0}(x)y^{n}+P_{1}(x)y^{n-1}+...+P_{n-1}(x)y^{1}+P_{n}(x)y^{0}=0}$.^[1]

Frequentemente as funções algébricas são expressões algébricas com um número finito de termos, envolvendo apenas as operações algébricas de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação com um expoente fracionário.^[2]

${\displaystyle Func{\tilde {o}}es\ Alg{\acute {e}}bricas\quad {\begin{cases}Explicitas\ {\begin{cases}Racionais\ {\begin{cases}Inteiras\\Fracion{\acute {a}}rias\\\end{cases}}\\Irracionais\\\end{cases}}\\Implicitas\end{cases}}}$

• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

Algumas funções algébricas, no entanto, não podem ser expressas por tais expressões finitas (este é o teorema de Abel–Ruffini). Este é o caso, por exemplo, do radical de Bring, que é a função definida implicitamente por:$${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0.}$$

Em termos mais precisos, uma função algébrica de grau n em uma variável x é uma função ${\displaystyle y=f(x),}$ que é contínua em seu domínio e satisfaz uma equação polinomial:

$${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$$

em que os coeficientes a_i(x) são funções polinomiais de x, com coeficientes inteiros^[2].

O valor de uma função algébrica em um número racional, e mais geralmente, em um número algébrico é sempre um número algébrico.

Algumas vezes, são considerados coeficientes ${\displaystyle a_{i}(x)}$ que são polinômios sobre um anel R, e fala-se sobre "funções algébricas sobre R".

Uma função que não é algébrica é chamada de função transcendental, como é o caso, por exemplo, de ${\displaystyle \exp(x),\tan(x),\ln(x),\Gamma (x).}$

Uma composição de funções transcendentais pode resultar em uma função algébrica: ${\displaystyle f(x)=\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}.}$

Referências

• Weisstein, Eric W. "Algebraic Function". MathWorld
• "Algebraic function". Encyclopedia of Mathematics.

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