Os primeiros estudos sobre a energia de grafos se deram no inicio dos anos 30, tendo origem em pesquisas sobre química quântica ^[1]. Nestes trabalhos, grafos foram utilizados para representar moléculas de hidrocarbonetos, com o propósito de determinar os níveis energéticos de alguns elétrons. Estas informações eram obtidas através da soma dos módulos dos autovalores do grafo associado a molécula em questão. Contudo, a energia de um grafo foi definida pela primeira vez apenas em 1978 por Ivan Gutman^[2].

Em teoria espectral de grafos, a energia de um grafo é um parâmetro definido como a soma dos valores absolutos dos autovalores da sua matriz de adjacência. Mais precisamente, sejam ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{n}}$ todos os autovalores da matriz de adjacência do grafo ${\displaystyle G}$. Assim, sua energia é definida como:

${\displaystyle E(G)=\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|,}$

Nikiforov^[3] estendeu o conceito de energia de um grafo para matrizes reais. Considere ${\displaystyle M}$a matriz real (não necessariamente quadrada), sua energia é definida como a soma dos seus valores singulares. Vamos recordar que um valor singular da matriz ${\displaystyle M}$, é a raiz quadrada de um dos autovalores da matriz ${\displaystyle MM^{T}}$. Mais precisamente, sejam ${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \cdots \geq \sigma _{n}}$ todos os valores de singulares de ${\displaystyle M}$, assim a sua energia é definida por:

${\displaystyle E(M)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}}$

Nestas condições, vale destacar que a energia de um grafo ${\displaystyle G}$, é igual a energia da sua matriz de adjacência.

Além da energia usual de um grafo ${\displaystyle G}$, atualmente pesquisadores tem estudado energias associadas a outras matrizes relacionadas com um grafo. Seja ${\displaystyle G}$ um grafo com ${\displaystyle n}$ vértices e ${\displaystyle m}$ arestas e ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade . Assim definimos:

A energia Laplaciana^[4], definida como ${\displaystyle LE(G)=E\left(L(G)-{\frac {2m}{n}}I\right)}$, onde ${\displaystyle L(G)}$ é matriz Laplaciana do grafo ${\displaystyle G}$.

A energia Laplaciana sem sinal^[5], definida como ${\displaystyle QE(G)=E\left(Q(G)-{\frac {2m}{n}}I\right)}$, onde ${\displaystyle Q(G)}$ é matriz Laplaciana sem sinal do grafo ${\displaystyle G}$.

A energia de incidência^[6], definida como ${\displaystyle BE(G)=E(B(G))}$, onde ${\displaystyle B(G)}$ é matriz de incidência do grafo ${\displaystyle G}$.

Referências

• Portal da matemática

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e