O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função.

Por exemplo, se ${\displaystyle z=z(x,y)\,}$ é uma função diferenciável, então o diferencial total de z é:

${\displaystyle dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy\in (\mathbb {R} ^{2})}$

Para uma função de 2 variáveis, como no caso acima, numa região pequena o bastante nas vizinhanças do ponto ${\displaystyle (x,y)}$, a imagem da função pode ser aproximada por um plano.

Os pontos, ${\displaystyle f({x}),f({x+\Delta {x}}),f({y}),f({y+\Delta {y}})}$ formam um paralelogramo nesse plano.

A variação total da função, que corresponde à diferença de altura entre o vértice mais alto ${\displaystyle f({x,y})}$ e o mais baixo ${\displaystyle f({(x+\Delta {x}),(y+\Delta {y})})}$ do paralelograma, é a soma das diferenças de altura entre os vértices superior a um dos intermediários e deste ao inferior: ${\displaystyle \Delta {f{x}}+\Delta {f{y}}}$.

Como as derivadas parciais são as tangentes dos ângulos em cada plano vertical, obtêm-se dos triângulos retângulos:

${\displaystyle \Delta {f{x}}={\frac {\partial f}{\partial x}}*\Delta {x}}$ e ${\displaystyle \Delta {f{y}}={\frac {\partial f}{\partial y}}*\Delta {y}}$

Quando ${\displaystyle \Delta {x}}$ e ${\displaystyle \Delta {y}}$ tendem a zero: ${\displaystyle d{f}={\frac {\partial f}{\partial x}}*d{x}+{\frac {\partial f}{\partial y}}*d{y}}$

Em cálculo vetorial, o diferencial total de uma função ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ pode ser representado como:

${\displaystyle \mathrm {d} f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$

onde f é uma função ${\displaystyle f=f(x_{1},x_{2},..\;..,x_{n})\,}$.

Quando os argumentos de uma função ${\displaystyle f({x,y})}$ são por sua vez também funções: ${\displaystyle x({r,t})}$ e ${\displaystyle y({r,t})}$, os cálculos de ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}}$ e ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}}$ podem ser obtidos a partir da expressão do diferencial total:

Pela definição de derivada parcial:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}=\lim({dr}}$→${\displaystyle 0){\frac {f({x(r+dr,t),y(r+dr,t))}-f({x(r,t),y(r,t)})}{dr}}}$

O numerador pode ser visto como um diferencial total de uma função de x e y entre os pontos ${\displaystyle (x,y)}$ e ${\displaystyle (x+dx,y+dy)}$

${\displaystyle f({x(r+dr,t),y(r+dr,t))}-f({x(r,t),y(r,t)})=df={\frac {\partial f}{\partial x}}*dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}*dy}$,

onde ${\displaystyle dx=x(r+dr,t)-x(r,t)}$ e ${\displaystyle dy=y(r+dr,t)-y(r,t)}$

Substituindo na expressão de ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}}$,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}=\lim({dr}}$→${\displaystyle 0){\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}*(x(r+dr,t)-x(r,t))+{\frac {\partial f}{\partial y}}*(y(r+dr,t)-y(r,t))}{dr}}}$

Mas,

${\displaystyle \lim({dr}}$→${\displaystyle 0){\frac {(x(r+dr,t)-x(r,t))}{dr}}={\frac {\partial x}{\partial r}}}$ e

${\displaystyle \lim({dr}}$→${\displaystyle 0){\frac {(y(r+dr,t)-y(r,t))}{dr}}={\frac {\partial y}{\partial r}}}$

Logo, temos a expressão da regra da cadeia para 2 variáveis:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial r}}={\frac {\partial f}{\partial x}}*{\frac {\partial x}{\partial r}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}*{\frac {\partial y}{\partial r}}}$

E de forma análoga:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}*{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}*{\frac {\partial y}{\partial t}}}$

A derivada total é uma caso particular da regra da cadeia, quando os argumentos de f (x,y,z), só dependem, cada um deles, de uma variável: x= x(t), y=y(t), z= z(t). Aplicando a regra da cadeia para este caso:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x}}*{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}*{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}*{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}$^[1]

Ou vetorialmente:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}=(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

Sendo A um vetor pertencente a um espaço vetorial bem definido e v o campo de velocidades, ou seja, ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$.

É necessário distinguir a notação de derivada total da parcial quando se deriva uma função do tipo ${\displaystyle f(t,x,x')}$ que é fundamental para o cálculo de variações. A variável x aqui depende do tempo ${\displaystyle x=x(t),\ x'={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$. Então, derivar em relação ao tempo resulta em:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot x'+{\frac {\partial f}{\partial x'}}\cdot x''}$

Uma função simples:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=2+3x'+5x''}$

Um exemplo um pouco mais complexo e ilustrativo poderia ser: ${\displaystyle f(t,x,x')=t^{3}+{\frac {1}{x}}+\ln(x')}$ nesse caso a derivada total é:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=3t^{2}-{\frac {x'}{x^{2}}}+{\frac {x''}{x'}}}$

Referências