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A desigualdade de Cauchy-Schwarz para números reais é outra forma de escrever a desigualdade conhecida entre vetores. O nome é dado em homenagem aos matemáticos Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz.

A desigualdade para o caso de números reais assegura que, dados n reais ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ e n reais ${\textstyle b_{1},b_{2},...,b_{n}}$, se tem

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}}$

em que a igualdade ocorre se e somente se os ${\displaystyle a_{i}}$ e ${\displaystyle b_{i}}$ forem proporcionais, ou seja

${\displaystyle a_{1}=\lambda b_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}=\lambda b_{2}}$,..., ${\displaystyle a_{n}=\lambda b_{n}}$,

Para algum ${\displaystyle \lambda }$ pertencente aos reais.

Considere a função

${\displaystyle f(x)=(a_{1}-b_{1}x)^{2}+(a_{2}-b_{2}x)^{2}+...+(a_{n}-b_{n}x)^{2}}$

Como ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$, segue que ${\displaystyle \Delta \leq 0}$

Abrindo os quadrados e explicitando os coeficientes:

${\displaystyle f(x)=a_{1}^{2}-2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}x^{2}+a_{2}^{2}-2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}x^{2}+...+a_{n}^{2}-2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}x^{2}}$

${\displaystyle f(x)=(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...a_{n}b_{n})+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}$

Calculando o discriminante:

${\displaystyle \Delta =4(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}-4(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})}$

Da conclusão acima, segue o resultado:

${\displaystyle 4(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}-4(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})\leq 0}$

${\displaystyle (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})}$.

${\textstyle C.Q.D}$.

UMA DESIGUALDADE MUITO ÚTIL: A DE CAUCHY–SCHWARTZ por Benedito Tadeu V. Freire e José Maria Gomes - AULA Nº 02 – 2010.

Antonio Caminha Muniz Neto,(2013), Tópicos de Matemática Elementar Volume 1 Números Reais, 2ª Edição, Editora SBM.