Derivada fracionária de Grünwald-Letnikov é uma das definições para derivada fracionária. Além de ser uma extensão da derivada do cálculo usual, pode ser escrita como uma série infinita destacando-se por ser uma ferramenta eficiente na resolução de problemas numéricos ^{[1] [2]}. Foi introduzida por Anton Karl Grünwald, em 1867, e por Aleksey Vasilievich Letnikov, em 1868. Algumas outras definições para derivada fracionária: Derivada Fracionária de Riemann-Liouville, derivada de Caputo, Riez e outras. ^[3]

Seja ${\displaystyle f}$ uma função definida em um intervalo que contém o ponto ${\displaystyle t_{0}}$ e que seja suficientemente bom e ${\displaystyle n}$ a ordem inteira da derivada , podemos escrever

${\displaystyle D^{1}f(t_{0})\;=\;\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(t_{0})-f(t_{0}-h)}{h}}}$

${\displaystyle D^{2}f(t_{0})\;=\;D^{1}[D^{1}f(t_{0})]\;=\;\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(t_{0})-2f(t_{0}-h)+f(t_{0}-2h)}{h^{2}}}}$

${\displaystyle D^{3}f(t_{0})\;=\;D^{1}[D^{2}f(t_{0})]\;=\;\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(t_{0})-3f(t_{0}-h)+3f(t_{0}-2h)-f(t_{0}-3h)}{h^{3}}}}$

${\displaystyle .}$

${\displaystyle .}$

${\displaystyle .}$

${\displaystyle D^{n}f(t_{0})\;=\ \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{h^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}f(t_{0}-kh)}$

A partir da formulação anterior a derivada segundo Grünwal-Letnikov é definida substituindo a ordem inteira ${\displaystyle n}$ por uma ordem arbitrária ${\displaystyle \alpha }$ e o somatória por uma série infinita.

${\displaystyle D^{\alpha }f(t_{0})\;=\ \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{h^{\alpha }}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {\alpha }{k}}f(t_{0}-kh)}$

em que ${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}\;=\ {\dfrac {\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (k+1)\Gamma (\alpha -k+1)}}.}$

Cálculo da derivada de ordem ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$ de ${\displaystyle f(t)}$, em ${\displaystyle t_{0}}$:

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}f(t_{0})\;=\ \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{h^{\frac {1}{2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {\frac {1}{2}}{k}}f(t_{0}-kh)}$

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}f(t_{0})\;=\ \lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {1}{h^{\frac {1}{2}}}}\left[f(t_{0})-{\dfrac {1}{2}}f(t_{0}-h)-{\dfrac {1}{2^{3}}}f(t_{0}-2h)-{\dfrac {1}{2^{4}}}f(t_{0}-3h)-...\right].}$

Facilmente pode ser verificado que aparece o termo ${\displaystyle {\dfrac {1}{2^{n}}}}$ e quando ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ , ${\displaystyle {\dfrac {1}{2^{n}}}\rightarrow 0}$. Para problemas numéricos o truncamento pode ser feito rapidamente.

Referências