Derivada fracionária de Riemann-Liouville é uma das definições para derivada fracionária e é o operador inverso da Integral Fracionária de Riemann-Liouville. Algumas outras definições para derivada fracionária: Derivada Fracionária de Grünwald-Letnikov, derivada de Caputo, Riez e outras. ^[1]

Definimos a derivada fracionária de Riemann-Liouville (${\displaystyle _{RL}D}$), de ordem ${\displaystyle \alpha }$, com ${\displaystyle n-1\leqslant {\mbox{Re}}(\alpha )\leqslant n}$ como ^[2]

${\displaystyle _{RL}D^{\alpha }f(t)\;=\ D^{n}[I^{n-\alpha }f(t)]}$

em que ${\displaystyle I}$ é a Integral Fracionária segundo Riemann-Liouville e ${\displaystyle D^{n}}$ é a derivada do cálculo clássico de ordem inteira ${\displaystyle n}$.

Nessa definição, a derivada de ordem arbitrária equivale à derivada de ordem inteira de uma integral de ordem arbitrária.

Caso ${\displaystyle f(t)=t^{\beta }}$, ${\displaystyle \beta \neq 0}$, a derivada arbitrária de ordem ${\displaystyle \alpha }$ é dada por:

${\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{\beta }\;=\ {\dfrac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta -\alpha +1)}}t^{\beta -\alpha }}$

em que ${\displaystyle \Gamma }$ é a Função gama.

Calculemos ${\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}}$ utilizando o exemplo anterior.

${\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {-1}{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {-1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}t^{-1}\;=\ 0}$

pois ${\displaystyle |\Gamma (0)|=\infty }$.

Calculemos ${\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}\right]}$ pelo exemplo anterior.

${\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {-1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[0\right]\;=\ 0.}$

Calculemos ${\displaystyle D^{1}t^{\frac {-1}{2}}}$.

${\displaystyle D^{1}t^{\frac {-1}{2}}=-{\dfrac {t^{-3}{2}}{2}}}$

Pelos dois exemplos anteriores concluímos que

${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }f(t)\neq D^{\alpha +\beta }f(t).}$

Calculemos ${\displaystyle _{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}}$ utilizando o exemplo anterior.

${\displaystyle _{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}+1)}}t^{-1}\;=\ 0}$

Calculemos ${\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]}$ pelo exemplo anterior.

${\displaystyle _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {3}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {1}{2}}\left[0\right]\;=\ 0.}$

Calculemos ${\displaystyle _{RL}D^{\frac {3}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]}$ pelo exemplo anterior.

${\displaystyle _{RL}D^{\frac {3}{2}}\left[_{RL}D^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}\right]\;=\ _{RL}D^{\frac {3}{2}}\left[{\dfrac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+1)}{\Gamma (0-{\frac {3}{2}}+1)}}t^{0}\right]\;=\ {\dfrac {\Gamma ({\frac {3}{2}})t^{\frac {-3}{2}}}{\Gamma \left(0-{\frac {3}{2}}+1\right)}}=-{\dfrac {1}{4}}t^{\frac {-3}{2}}=D^{2}t^{\frac {1}{2}}.}$

Pelos dois exemplos anteriores concluímos que

${\displaystyle D^{\alpha }D^{\beta }f(t)\neq D^{\beta }D^{\alpha }f(t).}$

Seja ${\displaystyle f(t)=1=t^{0}}$, temos:

${\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ D^{n}[I^{n-\alpha }t^{0}]}$

${\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ D^{n}\left[{\dfrac {\Gamma (1)}{\Gamma (n-\alpha +1)}}t^{n-\alpha }\right]}$

${\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {\Gamma (1)}{\Gamma (n-\alpha +1)}}\left[{\dfrac {\Gamma (n-\alpha +1)}{\Gamma (1-\alpha )}}t^{-\alpha }\right]}$

${\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {t^{-\alpha }}{\Gamma (1-\alpha )}}.}$

Observe que neste exemplo quando ${\displaystyle \alpha }$ não-inteiro a derivada de Riemann-Liouville é diferente de zero. Entretanto observe que para ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }$ como ${\displaystyle (1-\alpha )\in \mathbb {Z_{-}} }$ e ${\displaystyle |\Gamma (1-\alpha )|\rightarrow 0}$ a [derivada de Riemann-Liouville resulta em zero, i.e., recupera a derivada de uma constante do cálculo clássico.

Em particular, tomando ${\displaystyle \alpha \;=\ {\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle _{RL}D^{\alpha }t^{0}\;=\ {\dfrac {t^{-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\;=\ {\dfrac {1}{\sqrt {\pi t}}}}$

Temos que a derivada de ordem não-inteira de Riemann-Liouville de uma constante não é zero.

Há uma diferença importantíssima entre o operador diferencial de ordem inteira e o operador diferencial fracionário de Riemann-Liouville, o primeiro é um operador local e o segundo, não ^[3].

Uma das soluções para Curva tautocrônica foi proposta por Niels Henrik Abel, em 1823, que é considerada a primeira aplicação do cálculo fracionário e baseia-se exatamente na derivada fracionária de Riemann-Liouville de ordem ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ^[4] .

Notas e referências