Em matemática, para aproximar a derivada de uma função à uma ordem arbitrária de precisão, é possível usar diferenças finitas. A diferença finita pode ser central, para frente ou para trás.

Esta tabela contém os coeficientes das diferenças central, para a ordem várias de precisão:

Por exemplo, a terceira derivada com uma precisão de segunda ordem é:

${\displaystyle \displaystyle f'''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right).}$

Esta tabela contém os coeficientes das diferenças para a frente, para várias ordens de precisão:

Por exemplo, a primeira derivada com uma precisão de terceira ordem e da segunda derivada com uma precisão de segunda ordem são:

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

enquanto as aproximações para trás correspondentes são dadas por:

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right).}$

• LLoyd N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations. Cornell University, 1996.