Em geometria, o cardioide é um epicicloide que possui somente uma ponta. Isto é, um cardioide é uma curva que pode ser produzida como um locus — traçando-se o caminho de um dado ponto de um círculo, que rola sem cair ao redor de um outro círculo, que é fixo mas que tem o mesmo raio do círculo rolante.[1]
O cardioide é também um tipo especial de limaçon: é o limaçon de uma ponta. (A ponta é formada quando o raio de a até b na equação é igual a um).
Um cardioide é uma curva matemática cuja forma se assemelha à de um coração. Por este motivo, recebe o nome derivado do grego kardioeides = kardia:coração + eidos:forma.
Comparado ao símbolo ♥ entretanto, um cardioide não termina em uma ponta fina. Ele tem mais a forma do contorno da seção em cruz de uma ameixa.
O cardioide é um transformador inverso de uma parábola.
A grande figura preta central em um conjunto Mandelbrot é um cardioide. Este cardioide é cercado por uma arranjo fractal de círculos.
Uma vez que o cardioide é uma epiciclóide com uma ponta, as equações paramétricas do cardioide são:
A mesma curva pode ser definida em coordenadas polares pela equação:
A área de um cardioide a que seja cogruente com
é
Basta verificar que
A = ∫ ∫ --> 0 2 π π --> ∫ ∫ --> 0 ρ ρ --> ( θ θ --> ) r d r d θ θ --> = 3 2 π π --> a 2 {\displaystyle \displaystyle A=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\rho (\theta )}rdrd\theta ={\frac {3}{2}}\pi a^{2}}
Essa área é facilmente calculada utilizando o Teorema de Green para um campo vetorial cuja circulação seja igual a 1
F → → --> ( x , y ) = ( − − --> y 2 , x 2 ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)=\left(-{\frac {y}{2}},{\frac {x}{2}}\right)}
pois, pelo Teorema
∮ ∮ --> C F → → --> ⋅ ⋅ --> d l → → --> = ∮ ∮ --> C L d x + M d y = ∬ ∬ --> R [ ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> x x 2 − − --> ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> y ( − − --> y 2 ) ] d A = ∬ ∬ --> R d A {\displaystyle \oint \limits _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {l}}=\oint \limits _{C}Ldx+Mdy=\iint \limits _{R}\left[{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\left(-{\frac {y}{2}}\right)\right]dA=\iint \limits _{R}dA}
então basta calcular a circulação ao longo da cardioide
P → → --> ( θ θ --> ) = ( r ( θ θ --> ) cos --> θ θ --> , r ( θ θ --> ) s e n θ θ --> ) {\displaystyle {\vec {P}}(\theta )=\left(r(\theta )\cos \theta ,r(\theta )~\mathrm {sen} ~\theta \right)} )
no campo F → → --> ( x , y ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)} , onde:
A = ∮ ∮ --> P F → → --> ( P x , P y ) ⋅ ⋅ --> P → → --> ′ ( θ θ --> ) d θ θ --> = 1 2 ∮ ∮ --> P P x d y − − --> P y d x = 1 2 ∮ ∮ --> P ( r 2 s e n 2 θ θ --> + r 2 cos 2 --> θ θ --> ) d θ θ --> = a 2 2 ∫ ∫ --> 0 2 π π --> ( 1 + cos --> θ θ --> ) 2 d θ θ --> {\displaystyle A=\oint \limits _{P}{\vec {F}}(P_{x},P_{y})\cdot {\vec {P}}~'(\theta )d\theta ={\frac {1}{2}}\oint \limits _{P}P_{x}dy-P_{y}dx={\frac {1}{2}}\oint \limits _{P}\left(r^{2}~\mathrm {sen} ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+\cos \theta \right)^{2}d\theta } = a 2 2 ∫ ∫ --> 0 2 π π --> ( 1 + 2 cos --> θ θ --> + cos 2 --> θ θ --> ) d θ θ --> = a 2 2 ∫ ∫ --> 0 2 π π --> ( 1 + 2 cos --> θ θ --> + 1 + cos --> 2 θ θ --> 2 ) d θ θ --> = a 2 2 [ θ θ --> + θ θ --> 2 ] 0 2 π π --> = 3 2 a 2 π π --> {\displaystyle ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +\cos ^{2}\theta \right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +{\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left[\theta +{\frac {\theta }{2}}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {3}{2}}a^{2}\pi }
Lokasi Pengunjung: 3.146.206.245