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Na matemática a aridade de uma função ou operação é o número de argumentos ou operandos tomados. A aridade de uma relação é o número n de elementos que compõem as n-uplas ordenadas pertencentes à relação.

Aridade de uma função

Uma função ou operação f é dita de aridade n se $f:A_{1}\times \dots \times A_{n}\rightarrow B$ Note que se A₁, …, A_n forem iguais, $f:A^{n}\rightarrow B$

Ex. A operação de negação de um número real, as funções seno e cosseno têm aridade 1. As operações da soma e multiplicação têm aridade 2.

Na matemática não é comum deparar-se com operações de aridade maior do que 2, salvo em áreas especializadas. Na programação o uso de operação 3-ária (if – then – else) é mais comum, embora não seja raro definir funções com mais de 3 argumentos.

Em geral, o nome das funções ou operações com uma dada aridade segue a convenção similar usada para sistema numeral n-base assim como binária e hexadecimal. Uma combinação de um prefixo latino com terminação -ária. Por exemplo:

Função nulária

Uma função nulária não mapeia argumentos. É possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre qualquer conjunto A e o conjunto das funções nulárias sobre A. Isso significa que qualquer elemento de A pode ser visto como uma função.

Ex.

f₃ : {∅}→ N, onde f₃ (∅) = 3;
f₄ : {∅}→ N, onde f₄ (∅) = 4;
f₀ : {∅}→ N; tal que f₀ (∅) = 0;
∀n ∈ N ∃f_n : N⁰ → N tal que f_n (∅) = n.

Algumas vezes é útil considerar uma constante como uma operação de aridade 0 e doravante chamada de nulária.

Também, em uma programação não funcional, uma função sem argumentos pode ser significativa (e não necessariamente constante) devido a efeitos colaterais. Frequentemente, tais funções possuem de fato algumas entradas escondidas às quais podem ser variáveis globais, incluindo o estado total de um sistema (tempo, memória livre…). Estes são importantes exemplos e que também existem em linguagens de programação puramente funcionais.

Função unária

Uma operação unária mapeia um argumento. Ex:

A função f : N → N tal que f(n) = 2n é uma função unária.
A função identidade, definida por Id: N → N onde Id(n) = n é um outro exemplo de função unária.

Exemplos de operadores unários na matemática e em programação incluem o − e o + unário, o incremento (++) e decremento (−−) de operadores em C (não em linguagem lógica), o fatorial (!) e o valor absoluto.

Função binária

Uma operação binária mapeia 2 argumentos Ex: A função π₁ : N x N→ N, onde π₁(m,n) = m, chamada 1^a projeção é uma função binária. Semelhantemente obtém-se a 2^a projeção π₂(m,n) = n.

A maioria dos operadores encontrados na matemática são os de forma binária. Estes podem ser operadores de multiplicação, adição e divisão, tanto para programação quanto para matemática. Predicados lógicos como OR, XOR, AND, são tipicamente usados como operadores binários com dois operando distintos.

Função ternária

Uma operação ternária mapeia 3 argumentos. Ex: O operador condicional (if – then – else) utilizado em programação.

Função n-ária

Uma função n-ária mapeia n argumentos.

Do ponto de vista da matemática, uma função com n argumentos podem sempre ser consideradas como uma função de um único argumento o qual é um elemento de algum produto cartesiano. Entretanto, pode ser conveniente para notação considerar funções n-árias normalmente. O mesmo é verdade para linguagens de programação, onde funções que tomam vários argumentos podem sempre ser definidos como funções que tomam um único argumento de algum tipo complexo ou "estrutura".

Aridade de uma Relação

A aridade de uma relação R é o número de elementos de um elemento de R, ou seja, as relações R(a_1,…,a_n), P ⊆ A₁×…×A_n e Q ⊆ Nⁿ são todas relações n-árias.

Relação nulária

Uma relação nulária R é uma proposição, um valor de verdade. Ex: Está chovendo em Natal; 2 é maior do que 3; O gato é branco.

Relação unária

Uma relação unária R(x) é uma propriedade que se aplica um elemento x. Ex:

Está chovendo em Natal, pode ser escrito como Está_chovendo(Natal);
2 é maior do que 3: Maior_do_que_3(2);
O gato é branco: Branco(gato).

Relação binária

Uma relação binária R(x,y) é uma relação entre os elementos x e y. Ex:

2 é maior do que 3: Maior(2, 3);
Alberto é pai de Márcia: Pai(alberto, márcia).

Relação ternária

Uma relação ternária R(x, y, z) é uma relação entre os elementos x, y e z. Ex:

Na esquina da Rua 5 com a Av. 6 há uma loja: Fica_na_esquina(loja, Rua 5, Av. 6).

Relação n-ária

Uma relação n-ária R(x₁,…, x_n) é uma relação entre n elementos. Ex:

A relação entre um indivíduo, seu nome, seu RG e seu CPF é uma relação quaternária;

Referências gerais

SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta - Uma Introdução. São Paulo: Thomson, 2003. ISBN 8522102910.

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Aridade

Aridade de uma função

Função nulária

Função unária

Função binária

Função ternária

Função n-ária

Aridade de uma Relação

Relação nulária

Relação unária

Relação binária

Relação ternária

Relação n-ária

Referências gerais

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