PROFILPELAJAR.COM

Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną) $n$ liczb $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{\geqslant 0}$ nazywamy liczbę^[1]:

\mu _{k}:={\sqrt[{k}]{\frac {a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots +a_{n}^{k}}{n}}}.

Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową.

Powyższą definicję uzupełniamy dla $k=-\infty ,$ $k=0$ oraz $k=+\infty$ w sposób następujący^[1]:

$\mu _{-\infty }:=\min(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),$
$\mu _{0}:={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}},$
$\mu _{+\infty }:=\max(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).$

Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:

\mu _{3}={\sqrt[{3}]{\frac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}}={\sqrt[{3}]{\frac {225}{5}}}={\sqrt[{3}]{45}}\approx 3{,}56.

Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ tak zdefiniowana funkcja $\mu _{k}$ zmiennej $k$ jest ciągła i niemalejąca na zbiorze $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},$ jeśli zaś dla jakichkolwiek $i$ i $j,$ zachodzi $a_{i}\neq a_{j},$ jest ona nawet rosnąca (wynika to wprost z nierówności między średnimi potęgowymi).