Twierdzenie Liouville’a głosi, że funkcja całkowita, która jest ograniczona, jest stała.
Niech | f ( z ) | ⩽ ⩽ --> M {\displaystyle |f(z)|\leqslant M} i f ( z ) = ∑ ∑ --> n = 0 ∞ ∞ --> a n z n , {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},} to ze wzoru całkowego Cauchy’ego wynika, że | a n | < M ⋅ ⋅ --> R − − --> n {\displaystyle |a_{n}|<M\cdot R^{-n}} dla każdego R > 0 , {\displaystyle R>0,} stąd a n = 0 {\displaystyle a_{n}=0} dla n ⩾ ⩾ --> 1 {\displaystyle n\geqslant 1} i funkcja f {\displaystyle f} jest stale równa a 0 . {\displaystyle a_{0}.}
