Z pochodzenia jest przedstawicielem Métis[1]. Jego rodzicami są Wayne i Barbara. René ma siostrę bliźniaczkę Chantal, a ponadto dwie osobne siostry bliźniaczki Kim i Nadię. Jego kuzyn Wayne Bourque jest bokserem[2]. René Bourque jest znany z działalności charytatywnej[3].
Wychowanek Lac La Biche M.H.A.. Od stycznia 2012 zawodnik Montreal Canadiens[4]. Od listopada 2014 zawodnik Anaheim Ducks[5]. Od marca 2015 zawodnik Columbus Blue Jackets[6]. Od października 2016 w klubie Colorado Avalanche[7]. Od sierpnia 2017 zawodnik Djurgårdens IF[8]. W marcu 2018 ogłosił zakończenie kariery[9].
