Radialna gęstość prawdopodobieństwa – funkcja falowa opisująca stan elektronu w atomie, wyrażona we współrzędnych sferycznych.

Prawdopodobieństwo w mechanice kwantowej wyraża się wzorem:

${\displaystyle |\psi (q_{1},q_{2},...q_{f},t)|^{2}d\tau =\rho (q_{1},q_{2},...q_{f},t)d\tau }$

i jest funkcją współrzędnych uogólnionych i czasu, natomiast element objętości ${\displaystyle d\tau }$ odnosi się do całej przestrzeni f-wymiarowej. Zgodnie z postulatami chemii kwantowej, sumaryczne prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w dowolnym układzie musi być równe jedności. Zatem skoro ${\displaystyle \rho d\tau }$ określa prawdopodobieństwo, to ${\displaystyle \rho }$ musi mieć wymiar gęstości prawdopodobieństwa.

W przypadku przejścia do współrzędnych sferycznych, należy uwzględnić zależności:

${\displaystyle x=x(r,\theta ,\phi )=r\sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle y=y(r,\theta ,\phi )=r\sin \theta \sin \phi ,}$

${\displaystyle z=z(r,\theta ,\phi )=r\cos \theta ,}$

gdzie:

${\displaystyle r}$ – długość wektora,

${\displaystyle \theta }$ – kąt azymutalny,

${\displaystyle \phi }$ – kąt biegunowy.

Dzięki takiej transformacji współrzędnych funkcję gęstości prawdopodobieństwa można przedstawić w postaci:

${\displaystyle \rho (r,\theta \varphi )d\tau =|\psi (r,\theta \varphi )|^{2}r^{2}\sin \theta drd\theta d\varphi ,}$

gdzie ${\displaystyle \rho }$ określa gęstość prawdopodobieństwa, a ${\displaystyle d\tau }$ oznacza element objętości we współrzędnych sferycznych.

W przypadku atomu wodoru, prawdopodobieństwo znalezienia elektronu na odległości ${\displaystyle r}$ i ${\displaystyle r+dr}$ od jądra, niezależnie od kątów, będzie wyrażać się wzorem:

${\displaystyle \rho (r)r^{2}dr=r^{2}dr\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\sin \theta d\theta |\psi (r,\theta \varphi )|^{2}.}$

Wielkość ${\displaystyle P(r)=\rho (r)r^{2}}$ nazywa się radialną gęstością prawdopodobieństwa.

Postać funkcji atomu wodoru (czyli orbitalu 1s) przedstawia się wzorem:

${\displaystyle 1s=N_{1s}e^{\frac {-Zr}{a_{0}}}.}$

Z tej funkcji jawnie wynika, że gęstość prawdopodobieństwa jest równa zero dla ${\displaystyle r=0}$ oraz że dąży do zera, gdy ${\displaystyle r\rightarrow \infty .}$ Maksymalna wartość ${\displaystyle P(r)}$ będzie dla ${\displaystyle r=a_{0}.}$

W mechanice kwantowej nie można oczywiście określić dokładnie toru elektronu, a jedynie gęstość prawdopodobieństwa, gdzie będzie się znajdował. Jednak w stanie podstawowym najbardziej prawdopodobne jest, że elektron będzie się znajdował w odległości od jądra równej promieniowi pierwszej orbity modelu Bohra.

• Włodzimierz Kołos: Chemia kwantowa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1978, s. 52–53.