PROFILPELAJAR.COM

Pierścień noetherowski – pierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie inkluzji) jego ideałów $I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \dots$ stabilizuje się, tzn. istnieje $n\in \mathbb {N} ,$ dla którego $I_{n}=I_{n+1}=\dots ;$ mówi się też wtedy, że w pierścień spełnia warunek rosnących łańcuchów (ACC) dla ideałów; pojęcie nosi nazwisko Emmy Noether.

Równoważnie pierścień $R$ jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał właściwy jest skończenie generowany, tzn. dla każdego ideału $I\triangleleft R$ istnieją takie elementy $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}\in R,$ dla których

I=\{a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}:x_{1},x_{2},\ldots x_{k}\in R\}.

Można też powiedzieć, że pierścień $R$ jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia $R.$

Prawdziwe jest również twierdzenie Hilberta o bazie: jeżeli pierścień $R$ jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów $R[X]$ również jest noetherowski.

Przykłady

Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim (co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym).