Urodził się w 1973 roku w Marsylii i jest aktywny w międzynarodowym sporcie motorowym od 1994 roku.
Ścigał się w seriach wyścigowych o otwartym nadwoziu oraz w bolidach Le Mans Series klasy LMP1. W latach 1998–2000 rywalizował w wyścigach międzynarodowej Formuły 3000. W 2000 roku został jej wicemistrzem.
W 2002 roku Minassian powrócił do Europy i wygrał ASCAR Oval Racing Series. W 2003 roku spróbował ponownie startów w Formule 3000, jednak jego zespół wycofał się z rywalizacji po pierwszej rundzie. Od tego czasu bierze udział w wyścigach długodystansowych, m.in. Le Mans. 15 czerwca2008 roku w świetnym stylu zajął drugie miejsce w prestiżowym wyścigu 24h Le Mans, prowadząc Peugeota 908 HDI FAP z silnikiem Diesla. Jego partnerami byli Jacques Villeneuve oraz Marc Gené.
