Miara bezatomowa

Miara bezatomowa – taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.

Własności

Dla każdego $\mu$ -mierzalnego zbioru $A$ można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów $A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \ldots$ taką, że

\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\ldots >0.

jeśli miara nie jest bezatomowa to konstrukcja taka (dla pewnych zbiorów A) nie jest możliwa.

Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:

Dla dowolnego zbioru mierzalnego

A

takiego, że

\mu (A)>0

i dla każdej liczby rzeczywistej

0<b<\mu (A)

istnieje taki podzbiór

B\subsetneq A,

że

\mu (B)=b.

Skąd można wnioskować, że $\mu$ przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.

Uogólnienie

Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.

Definicja

Niech ${\mathfrak {M}}$ będzie σ-ciałem, miarę rzeczywistą $\mu$ określona na ${\mathfrak {M}}$ nazywamy bezatomową, jeśli dla każdego zbioru $A\in {\mathfrak {M}}$ takiego, że $|\mu |(A)>0,$ istnieje ${\mathfrak {M}}\ni E\subseteq A$ taki, że $0<|\mu |{(E)}<|\mu |(A).$ Przez $|\mu |$ oznaczamy wahanie całkowite miary rzeczywistej $\mu .$

Zobacz też

miara zupełna

Bibliografia

Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.

Read other articles:

Baldwin Street, Dunedin

Sebuah rumah di Baldwin Street Seorang turis Baldwin Street Mobil diparkir di Baldwin Street Baldwin Street, di kota Dunedin, Selandia Baru, terkenal sebagai jalan paling curam di dunia. Jalan ini terletak di suburb North East Valley, 3,5 kilometer timur laut dari pusat kota Dunedin. Panjangnya 350 meter, bagian dasarnya tidak terlalu curam, dan permukaannya dari aspal, tetapi bagian atas jalan buntu ini sangat curam dan terbuat dari beton. Kecuraman maksimumnya adalah sekitar 1:2,86 (19° at...

Moody's

Moody's CorporationJenisPerusahaan publik (NYSE: MCO)IndustriLembaga pemeringkat kreditDidirikanNew York (1909)KantorpusatNew York CityProdukPeringkat kreditAnakusahaPT Moody's IndonesiaSitus webwww.moodys.com Moody's Corporation (NYSE: MCO) adalah perusahaan induk dari Moody's Investors Service yang menyediakan jasa analisis keuangan dan analisis atas lembaga usaha dan lembaga pemerintah . Perusaahan ini juga memberikan peringkat atas kelayakan kredit dari peminjam dengan menggunakan peringk...

Abdullah Sani

Abdullah Sani Wakil Gubernur Jambi ke-6PetahanaMulai menjabat 7 Juli 2021GubernurAl Haris PendahuluFachrori UmarPenggantiPetahanaWakil Wali Kota Jambi ke-3Masa jabatan4 November 2013 – 4 November 2018Wali KotaSyarif Fasha PendahuluM. Sum IndraPenggantiMaulana Informasi pribadiLahir8 September 1956 (umur 67)Bram Itam Kanan, Keresidenan Jambi, Sumatra TengahPartai politikPDI-P (sampai 2020)PKB (sejak 2021)Suami/istriHj. KomariahAnak5Alma materIAIN Sultan Thaha Saifud...

Malcolm Holzman

American architect Malcolm HolzmanBorn (1940-09-26) September 26, 1940 (age 83)Newark, New JerseyNationalityAmericanAlma materPratt InstituteOccupationArchitectAwards{see article}PracticeSteinberg Hart Websitesteinberghart.com Malcolm Holzman FAIA, is an American architect, who practices in New York City. He is a partner of Steinberg Hart and was founding partner of Holzman Moss Bottino Architecture (HMBA) and Hardy Holzman Pfeiffer Associates (HHPA). Holzman has planned, programmed...

Kepausan Tuskulum

Paus Benediktus VIII (1012-1024) Kepausan Tuskulum adalah periode sejarah kepausan dari tahun 1012 hingga 1048 di mana tiga kerabat berturut-turut dari komite Tuskulum dilantik sebagai Paus. Latar belakang Artikel utama: Saeculum obscurum dan Crescentii Comte Theophylact I dari Tusculum, istrinya Theodora, dan putrinya Marozia memegang pengaruh besar atas pengangkatan paus dari tahun 904 hingga 964. Pecinta Theodora dan Marozia, serta putra dan cucu Marozia, naik kepausan selama periode ini. ...

Associazione Fascista Calcio Vicenza 1941-1942

Questa voce sull'argomento stagioni delle società calcistiche italiane è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Voce principale: Vicenza Calcio. Associazione Fascista Calcio VicenzaStagione 1941-1942Sport calcio SquadraVicenza Calcio Allenatore Pietro Spinato, poi Aldo Spivach Presidente Giuseppe Del Conte Serie B2º posto. Promossa in Serie A. Coppa ItaliaSedicesimi di finale. Maggiori presenz...

João de Loureiro

João de LoureiroPage titre du premier tome de la Flora Cochinchinensis, 1790BiographieNaissance 1710, 1715 ou 1717LisbonneDécès 18 octobre 1791LisbonneNationalité portugaiseActivités Botaniste, missionnaire, mathématicien, médecin, écrivain, paléontologueAutres informationsDate de baptême 8 septembre 1717Ordre religieux Compagnie de JésusAbréviation en botanique Lour.modifier - modifier le code - modifier Wikidata João de Loureiro, né à Lisbonne en 1710, 1715 ou 1717 et mort da...

Grace Arents

American philanthropist Grace ArentsBorn1848 (1848)New York City, U.S.DiedJune 20, 1926(1926-06-20) (aged 77–78)Henrico County, Virginia, U.S.Resting placeHollywood CemeteryRichmond, Virginia, U.S.PartnerMary Garland SmithRelativesLewis Ginter (uncle) Grace Evelyn Arents (1848 – June 20, 1926) was an heiress, Christian activist and philanthropist in Richmond, Virginia. She inherited $1.2 million from her uncle Lewis Ginter, a tobacco magnate, and she continued his philanthr...

James Shaw (mayor)

Australian politician For other people named James Shaw, see James Shaw (disambiguation). James Shaw ca. 1888-9 Mayors of Adelaide: Judah Moss Solomon (1869-71); James Shaw (1888-9); Frederick William Bullock (1891-2) ca. 1880 James Shaw (1846–1910) was Mayor of Adelaide from 1888 to 1889. James Shaw arrived in South Australia in 1864. Builder and contractor; Councillor for the Young Ward.[1] References ^ Adelaide observer, 23 February 1889, p. 33, col. b http://www.catalog.slsa.sa....

Espagne

Pour les articles homonymes, voir Espagne (homonymie) et España. Royaume d'Espagne[1]Reino de España[2] Écouter Drapeau de l'Espagne Armoiries de l'Espagne Devise en latin : Plus ultra (« Plus loin ») Hymne en espagnol : Marcha Real (« Marche royale ») Fête nationale 12 octobre · Événement commémoré Découverte de l'Amérique par Christophe Colomb (1492) Le royaume d'Espagne en Europe (l'Union européenne en vert clair) Admi...

慕尤丁·雅辛

这是马来族人名，“莫哈末·雅辛”是父名，不是姓氏，提及此人时应以其自身的名“慕尤丁”为主。尊敬的丹斯里拿督哈芝慕尤丁·莫哈末雅辛馬來語：Muhyiddin Mohd YassinMahiaddin bin Md Yasin（注册名）国会议员PSM; SPMJ; SHMS; SPSA; SPMP; SUNS; SPDK; DP; PNBS; SMJ; BSI (I); PIS (I)2021年的慕尤丁第8任马来西亚首相任期2020年3月1日—2021年8月20日君主國家元首蘇丹阿都拉副职依斯迈沙比里前任马...

1959 CFL season

Sports season1959 CFL seasonDurationJune – October, 1959East championsHamilton Tiger-CatsWest championsWinnipeg Blue Bombers47th Grey CupDateNovember 28, 1959VenueExhibition Stadium, TorontoChampionsWinnipeg Blue Bombers CFL seasons← 19581960 → 1000km620miles Rough Riders Alouettes Argonauts Tiger-Cats Blue Bombers Roughriders Eskimos Stampeders Lions Canadian Football League team locations: WIFU, IRFU The 1959 CFL season was the sixth season in modern-day Canadian f...

乌克兰总理

烏克蘭總理Прем'єр-міністр України烏克蘭國徽現任杰尼斯·什米加尔自2020年3月4日任命者烏克蘭總統任期總統任命首任維托爾德·福金设立1991年11月后继职位無网站www.kmu.gov.ua/control/en/（英文）乌克兰乌克兰政府与政治系列条目宪法政府总统弗拉基米尔·泽连斯基總統辦公室国家安全与国防事务委员会总统代表（英语：Representatives of the President of Ukraine）总...

哥伦布 (密西西比州)

密西西比州哥伦布城市綽號：Possum Town哥伦布位于密西西比州的位置坐标：33°30′06″N 88°24′54″W / 33.501666666667°N 88.415°W / 33.501666666667; -88.415国家美國州密西西比州县朗兹县始建于1821年政府 • 市长罗伯特·史密斯 (民主党)面积 • 总计22.3 平方英里（57.8 平方公里） • 陸地21.4 平方英里（55.5 平方公里） • ...

بوابة:محيطات

الثقافة الأعلام والتراجم الجغرافيا التاريخ الرياضيات العلوم المجتمع التقانات الطيران الأديان فهرس البوابات تحرير مرحبًا بك في بوابة محيطات المحيطات هي الجزء الأكبر والأعظم من الغلا�...

Supercoupe d'Espagne de football

Supercoupe d'Espagne de football Logo de la Supercoupe d'EspagneGénéralités Sport Football Création 1982 Organisateur(s) RFEF Éditions 40 (en 2024) Catégorie National Périodicité Annuelle Lieu(x) Arabie Saoudite Espagne Participants 4 équipes (depuis janvier 2020) Site web officiel http://www.rfef.es Palmarès Tenant du titre Real Madrid (2024) Plus titré(s) FC Barcelone (14) Meilleur(s) buteur(s) Lionel Messi (14) Pour la dernière compétition voir : Supercoupe d'Espagn...

Anthony Davis (composer)

American pianist and composer Anthony Davis (born February 20, 1951)[1] is an American pianist and composer. He incorporates several styles including jazz, rhythm 'n' blues, gospel, non-Western, African, European classical, Indonesian gamelan, and experimental music.[2] He has played with several groups and is also a professor of music at the University of California, San Diego. Davis is perhaps best known for his operas; he has been called the dean of African-American opera c...

Space Shuttle orbiter

Reusable spacecraft component of the Space Shuttle system Space Shuttle orbiterDiscovery approaches the International Space Station (ISS) on STS-121ManufacturerRockwell International (North American Aircraft Operations)Country of originUnited StatesOperatorNASAApplicationsCrew and cargo spaceplane SpecificationsSpacecraft typeCrewed, reusableLaunch mass110,000 kg (240,000 lb)Dry mass78,000 kg (172,000 lb)RegimeLow Earth orbit DimensionsLength37.237 m (122.17 ft)H...

Rencana pelaksanaan pembelajaran

Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini) Artikel atau bagian mungkin perlu ditulis ulang agar sesuai dengan standar kualitas Wikipedia. Anda dapat membantu memperbaikinya. Halaman pembicaraan dari artikel ini mungkin berisi beberapa saran. Artikel ini tidak memiliki referensi atau sumber tepercaya sehingga isinya tidak bisa d...

August 2021 Gulf of Oman incident

Attack on an oil tanker named the Asphalt Princess in the Gulf of Oman 24°35′42″N 57°17′10″E / 24.595°N 57.286°E / 24.595; 57.286 August 2021 Gulf of Oman incidentPart of the 2019–2021 Persian Gulf crisisAsphalt Princess in 2010 (whilst still called Thalassa Desgagnes)Date3 August 2021 (2021-08-03)Location~61 NM East of Fujairah, Gulf of Oman, Indian OceanCoordinates2459.5N 05728.6ETargetAsphalt PrincessProperty damage1 merchant ship damage...