Metoda czynnika sumacyjnego pozwala na rozwiązywanie równań rekurencyjnych postaci ${\displaystyle a_{n}T_{n}=b_{n}T_{n-1}+c_{n}}$ poprzez sprowadzenie ich do postaci ${\displaystyle U_{n}=U_{n-1}+w_{n},}$ gdzie ${\displaystyle a_{n},b_{n},c_{n},w_{n}}$ to ciągi współczynników.

Zakładamy, że spełnione są warunki

${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ dla ${\displaystyle n\geqslant 0,}$ oraz ${\displaystyle b_{n}\neq 0}$ dla ${\displaystyle n>0.}$

Celem jest sprowadzenie tej wyjściowej rekurencji do postaci

${\displaystyle U_{n}=U_{n-1}+w_{n}.}$

Taka postać mówi nam, że wyraz o numerze ${\displaystyle n}$ powstaje z wyrazu o numerze ${\displaystyle n-1}$ przez dodanie do niego elementu ${\displaystyle w_{n}.}$ Oznacza to zatem, że ${\displaystyle U_{n}}$ można zapisać jako sumę

${\displaystyle U_{n}=\sum _{k=0}^{n}w_{k}.}$

Aby dojść do oczekiwanej postaci definiujemy czynnik sumacyjny, czyli ciąg ${\displaystyle s_{n},\;n=0,1,\dots }$ spełniający równanie

${\displaystyle s_{n}b_{n}=s_{n-1}a_{n-1},}$

lub inaczej

${\displaystyle s_{n}=s_{n-1}{\frac {a_{n-1}}{b_{n}}}.}$

Przez pomnożenie równania wyjściowego obustronnie przez ${\displaystyle s_{n}}$ pozbywamy się zależności od ${\displaystyle b_{n}}$ po prawej stronie równania:

${\displaystyle s_{n}a_{n}T_{n}=s_{n-1}a_{n-1}T_{n-1}+s_{n}c_{n}.}$

Wprowadzamy teraz nową funkcję

${\displaystyle U_{n}=s_{n}a_{n}T_{n},}$

co pozwala nam zapisać poprzednie równanie jako

${\displaystyle U_{n}=U_{n-1}+s_{n}c_{n},}$

i dalej w postaci sumy

${\displaystyle U_{n}=\sum _{k=0}^{n}s_{k}c_{k}.}$

Uwzględniając definicję ${\displaystyle U_{n},}$ otrzymujemy

${\displaystyle s_{n}a_{n}T_{n}=\sum _{k=0}^{n}s_{k}c_{k}=U_{0}+\sum _{k=1}^{n}s_{k}c_{k}=s_{0}a_{0}T_{0}+\sum _{k=1}^{n}s_{k}c_{k}=s_{1}b_{1}T_{0}+\sum _{k=1}^{n}s_{k}c_{k}.}$

Zatem równanie na ${\displaystyle T_{n}}$ ma postać

${\displaystyle T_{n}={\frac {1}{s_{n}a_{n}}}\left(s_{1}b_{1}T_{0}+\sum _{k=1}^{n}s_{k}c_{k}\right).}$

Ostatnim krokiem jest wyznaczenie wyrazów ciągu ${\displaystyle s_{n}.}$ Z określenia możemy wyznaczyć ${\displaystyle s_{n}}$ dla ${\displaystyle n>0.}$ Musimy przyjąć warunek na zakończenie rekurencji – możemy to zrobić, wybierając ${\displaystyle s_{0}=1.}$ Wówczas otrzymujemy ciąg

${\displaystyle s_{0}=1,}$

${\displaystyle s_{1}={\frac {a_{0}}{b_{1}}},}$

${\displaystyle s_{2}=s_{1}{\frac {a_{1}}{b_{2}}}\ ={\frac {a_{0}a_{1}}{b_{1}b_{2}}}}$

i ogólnie

${\displaystyle s_{n}={\frac {a_{0}a_{1}\ldots a_{n-1}}{b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}}={\frac {\prod \limits _{k=0}^{n-1}a_{k}}{\prod \limits _{k=1}^{n}b_{k}}}.}$

• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Matematyka konkretna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002, ISBN 83-01-13906-4.