Liczby harmoniczne – sumy odwrotności początkowych liczb naturalnych:

${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

${\displaystyle H_{n}}$ jest więc ${\displaystyle n}$-krotną odwrotnością średniej harmonicznej tych liczb naturalnych.

Liczby harmoniczne były badane w starożytności i pełnią ważną rolę w wielu działach teorii liczb. Potocznie nazywane są szeregiem harmonicznym, są blisko związane z funkcją ζ Riemanna, a także pojawiają się w różnych wyrażeniach licznych funkcji specjalnych.

Dla dowolnego rzeczywistego ${\displaystyle m}$ istnieje takie naturalne ${\displaystyle n,}$ dla którego ${\displaystyle H_{n}>m.}$ Wynika to bezpośrednio z rozbieżności szeregu harmonicznego.

Leonhard Euler podał następujący wzór^[1]:

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$

Powyższa równość jest oczywista dzięki przekształceniom algebraicznym poniższej tożsamości:

${\displaystyle {\frac {\,\,\,1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\ldots +x^{n-1}.}$

Liczby harmoniczne pojawiają się w wielu wzorach obliczeniowych, jak na przykład funkcja digamma:

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

gdzie ${\displaystyle \gamma }$ to stała Eulera. Związek ten jest często stosowany do zdefiniowania przedłużenia liczb harmonicznych poza liczby naturalne ${\displaystyle n.}$

W 2002 roku Jeffrey Lagarias udowodnił, że hipoteza Riemanna może być zastąpiona równoważnym wyrażeniem, że

${\displaystyle \sigma (n)\leqslant H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}$

jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle n\geqslant 1,}$ z ostrą nierównością jeśli ${\displaystyle n>1;}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$ oznacza sumę dzielników liczby ${\displaystyle n}$^[2].

Uogólnione liczby harmoniczne rzędu ${\displaystyle n}$ z ${\displaystyle m}$ są zdefiniowane jako^[3]

${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}$

Należy zauważyć, że jeśli ${\displaystyle m>1}$ to istnieje granica przy ${\displaystyle n}$ zmierzającym do nieskończoności.

Inne stosowane zapisy to

${\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).}$

Przypadek dla wartości ${\displaystyle m=1}$ jest przypadkiem specjalnym, który nazywa się liczbą harmoniczną, a indeks ${\displaystyle m}$ jest w zapisie pomijany^[3].

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Harmonic Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• Extending the Harmonic Numbers to the Reals, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 22 sierpnia 2021  (ang.).