Kwantowanie, kwantyzacja^[1] – konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola. Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.

W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, że energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się przez to, że możliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.

W mechanice klasycznej układ opisywany jest przez funkcję Hamiltona (hamiltonian będący funkcją położeń uogólnionych ${\displaystyle q_{i}}$ i pędów uogólnionych ${\displaystyle p_{i}}$ – zmiennych kanonicznych). W formalizmie kanonicznym wprowadza się nawiasy Poissona definiowane jako

${\displaystyle \{A,B\}=\sum _{i=1}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q_{i}}}\right).}$

Zgodnie z definicją nawiasy Poissona dla zmiennych kanonicznych wynoszą odpowiednio (${\displaystyle k}$ i ${\displaystyle l}$ indeksują zmienne kanoniczne)

${\displaystyle \{q_{l},q_{k}\}=0,}$

${\displaystyle \{p_{l},p_{k}\}=0,}$

${\displaystyle \{q_{l},p_{k}\}=\delta _{lk}.}$

Kwantowanie kanoniczne polega na zmianie zmiennych kanonicznych na operatory oraz nawiasów Poissona na komutatory

${\displaystyle \{.,.\}\longrightarrow {\frac {1}{i\hslash }}[.,.],}$

czyli

${\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {q}},{\hat {p}},t),}$

${\displaystyle [{\hat {q}}_{l},{\hat {q}}_{k}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {p}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=0,}$

${\displaystyle [{\hat {q}}_{l},{\hat {p}}_{k}]=i\hslash \delta _{lk}.}$

Popularnym sposobem kwantyzacji jest wprowadzenie funkcji falowej. Korzysta się z faktu, że na przestrzeni funkcji ${\displaystyle \Psi (q)}$ można wprowadzić operatory

${\displaystyle {\hat {q}}_{i}\Psi (q)=q_{i}\Psi (q),}$

${\displaystyle {\hat {p}}_{i}\Psi (q)=-i\hslash {\frac {\partial \Psi (q)}{\partial q_{i}}}.}$

spełniające odpowiednie reguły komutacyjne. W ten sposób problem znalezienia stanów własnych pewnych operatorów sprowadza się do rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego.

Klasyczny hamiltonian opisujący taką cząstkę ma postać ${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}{\vec {p}}^{\,2}.}$ Odpowiadający mu kwantowy operator to ${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta .}$ Szukając stanu kwantowego o ustalonej wartości energii, rozwiązujemy równanie

${\displaystyle -{\frac {\hslash ^{2}}{2m}}\Delta \Psi ({\vec {x}})=E\Psi ({\vec {x}}).}$

Możliwe jest jednoczesne żądanie ustalonej wartości pędu:

${\displaystyle -i\hslash {\vec {\nabla }}\Psi ({\vec {x}})={\vec {k}}\Psi ({\vec {x}}).}$

Rozwiązując te równania, znajdujemy

${\displaystyle \Psi ({\vec {x}})=Ne^{\frac {i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}{\hslash }},}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2m}}{\vec {k}}^{\,2}.}$

W tym przypadku kwantowy związek między energią i pędem jest taki sam jak klasyczny.

• funkcja falowa
• hamiltonian
• mechanika klasyczna
• mechanika kwantowa
• nawias Poissona

• Steven Weinberg, Teoria pól kwantowych, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001.