Jedynka hiperboliczna – tożsamość hiperboliczna postaci^[1]:

${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$

spełniona dla każdej rzeczywistej lub zespolonej wartości x.

Sposób 1:

Jak wiemy:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}},}$

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}},}$

stąd:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x\\=\ &\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)^{2}\\=\ &\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}-{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)\cdot \left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}+{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)\\=\ &\left({\frac {e^{x}+e^{-x}+(-e^{x})+e^{-x}}{2}}\right)\cdot \left({\frac {e^{x}+e^{-x}+e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)\\=\ &{\frac {2e^{-x}}{2}}\cdot {\frac {2e^{x}}{2}}\\=\ &e^{-x}\cdot e^{x}=1,\end{aligned}}}$

c.b.d.o.

Sposób 2:

Skorzystamy ze:

• związku między funkcjami hiperbolicznymi a trygonometrycznymi

${\displaystyle \cosh x=\cos(ix),}$

${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix),}$

• jedynki trygonometrycznej słusznej dla każdej liczby zespolonej,

stąd:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x\\=\ &\cos ^{2}(ix)-\left(-i\sin(ix)\right)^{2}\\=\ &\cos ^{2}(ix)-(-i)^{2}\cdot \sin ^{2}(ix)\\=\ &\cos ^{2}(ix)-(-1)^{2}i^{2}\cdot \sin ^{2}(ix)\\=\ &\cos ^{2}(ix)-i^{2}\sin ^{2}(ix)\\=\ &\cos ^{2}(ix)+\sin ^{2}(ix)\\=\ &1,\end{aligned}}}$

c.b.d.o.