Ten artykuł należy dopracować:

od 2015-01 → napisać/poprawić definicję.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Interpolacja naturalna – jeden z rodzajów interpolacji.

Dana jest funkcja ${\displaystyle y=f(x),x\in [x_{0},x_{n}]}$ dla której znamy tablice jej wartości

${\displaystyle f(x_{0})=y_{0},f(x_{1})=y_{1}\dots f(x_{n})=y_{n}.}$

Będziemy poszukiwać funkcji ${\displaystyle W(x)}$ takiej że ${\displaystyle W(x_{0})=y_{0},W(x_{1})=y_{1}\dots W(x_{n})=y_{n}.}$

Poszukiwaną funkcją interpolacyjną będzie wielomian w postaci

${\displaystyle W(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}.}$

Zdefiniujmy macierz współczynników ${\displaystyle \mathbf {A} {:}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$

oraz macierz bazową ${\displaystyle \mathbf {B} {:}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}x^{0}&x^{1}&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}.}$

Wówczas wielomian interpolacyjny wyraża wzór

${\displaystyle W(x)=\mathbf {B} \mathbf {A} .}$

Zdefiniujmy macierz główną ${\displaystyle \mathbf {X} {:}}$

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}x_{0}^{0}&x_{0}^{1}&x_{0}^{2}&\cdots &x_{0}^{n}\\x_{1}^{0}&x_{1}^{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n}\\x_{2}^{0}&x_{2}^{1}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}^{0}&x_{n}^{1}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}.}$

Macierz ${\displaystyle \mathbf {X} }$ to macierz Vandermonde’a.

Zdefiniujmy macierz ${\displaystyle \mathbf {Y} {:}}$

${\displaystyle \mathbf {Y} ={\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}.}$

Jeśli macierz ${\displaystyle \mathbf {X} }$ jest nieosobliwa, to zachodzi

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {Y} ,}$

co implikuje

${\displaystyle W(x)=\mathbf {B} \mathbf {X} ^{-1}\mathbf {Y} .}$

Niepodważalną zaletą tej metody jest jej prostota. Przekłada się to na łatwość jej implementacji w programach komputerowych oraz zastosowania w metodach numerycznych.

Sporą wadą interpolacji naturalnej jest konieczność odwracania macierzy głównej co jest – szczególnie przy dużym rozmiarze macierzy – operacją skomplikowaną oraz niedokładną (błędy zaokrągleń).

W związku z tym częściej w praktyce stosowana jest interpolacja Lagrange’a.

• Ewa Majchrzak, Bohdan Mochnacki: Metody numeryczne: Podstawy Teoretyczne, Aspekty Praktyczne i Algorytmy. Gliwice: Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, 2004. ISBN 83-7335-231-7.Sprawdź autora:3. Brak numerów stron w książce