Sławkow przygodę z futbolem rozpoczął w 1972 w zespole Trakija Stambolijski. Od 1973 występował w juniorskich drużynach Botew Płowdiw. Od sezonu 1976/77 stał się członkiem pierwszego zespołu Botewu, znanego wtedy jako Trakija. Jako piłkarz Trakiji sięgnął po Puchar Bułgarii w sezonie 1980/81.
Sezon 1979/80 spędził w CSKA Sofii, z którą zdobył pierwsze w karierze mistrzostwo Pyrwa profesionałna futbołna liga. W Botewie/Trakiji występował do 1982, sięgając m.in. po koronę króla strzelców Pyrwa profesionałna futbołna liga w sezonie 1980/81 (31 bramek). Pomogło mu to zdobyć Europejski Złoty But, czyli nagrodę dla najlepszego strzelca w ligach europejskich[2]. Łącznie dla Botewu wystąpił w 112 spotkaniach, w których 61 razy zdobył bramkę[3].
W 1982 przeszedł do CSKA Sofia[4]. Z ekipą ze stolicy kraju odniósł największe drużynowe sukcesy w karierze. Po raz drugi w barwach Wojskowych wygrał Pyrwa profesionałna futbołna liga w sezonie 1982/83. Dwa razy podnosił również Puchar Bułgarii wywalczony w sezonach 1982/83 i 1984/85.
W 1986 wyjechał do Francji, gdzie dołączył do AS Saint-Étienne[4]. Tam zagrał w 16 spotkaniach Ligue 1, po czym przeszedł do portugalskiego GD Chaves. Grał w nim przez pięć lat i w 89 spotkaniach na poziomie Primeira Liga strzelił 15 bramek[4]. Karierę piłkarską zakończył w 1993 w Botewie.
Uczestniczył wraz z kadrą w eliminacjach do Mistrzostw Świata 1982 (6 spotkań). Zagrał także łącznie w 5 spotkaniach eliminacyjnych do mistrzostw Europy 1980 i 1984. Po raz ostatni w drużynie narodowej wystąpił 7 września 1983 w meczu z Norwegią, wygranym 2:1.
Łącznie w latach 1979–1983 Sławkow zagrał dla Bułgarii w 37 spotkaniach, w których strzelił 11 bramek[5].
