Funkcje eliptyczne Jacobiego (funkcje amplitudy Jakobiego) – funkcje, których argumenty są wartościami funkcji amplitudy Jacobiego, przy czym funkcja amplitudy Jacobiego jest funkcją odwrotną do całki eliptycznej niezupełnej pierwszego rodzaju^[1].

Funkcje te mają własności analogiczne do własności funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych i redukują się do funkcji trygonometrycznych lub hiperbolicznych dla szczególnych wartości tzw. modułu k.

Funkcję amplitudy Jakobiego i funkcje eliptyczne Jacobiego definiuje się w ogólności na zbiorze liczb zespolonych. Niniejszy artykuł ogranicza się zasadniczo do podania własności funkcji Jacobiego na zbiorze liczb rzeczywistych.

Funkcje eliptyczne Jacobiego zdefiniował Carl Jacobi.

Df. Niezupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju nazywamy funkcję ${\displaystyle F\colon R\to R}$, która zmiennej ${\displaystyle \phi }$ przyporządkowuje zmienną ${\displaystyle u=F(\phi ,k)}$ za pomocą wzoru całkowego:

${\displaystyle F(\phi ,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\int \limits _{0}^{\phi }{\frac {d\xi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\xi }}}}$

przy czym ${\displaystyle k}$ to tzw. moduł o ustalonej wartości, ${\displaystyle k\in <-1,+1>}$.

Całki eliptyczne pierwszego rodzaju tworzą rodzinę funkcji, mających wszystkie możliwe wartości modułu ${\displaystyle k}$.

Df. Funkcją amplitudy Jakobiego nazywamy funkcję ${\displaystyle {\text{am}}\colon R\to R}$, która zmiennej ${\displaystyle u}$ przyporządkowuje zmienną ${\displaystyle \phi ={\text{am}}(u,k)}$, taką że ${\displaystyle u=F(\phi ,k)}$, tj. ${\displaystyle u}$ jest równe całce eliptycznej niezupełnej pierwszego rodzaju zmiennej ${\displaystyle \phi }$ o module ${\displaystyle k}$.

Oznacza to, że funkcja amplitudy Jacobiego jest funkcją odwrotną do całki niezupełnej pierwszego rodzaju.

Funkcje amplitudy Jacobiego tworzą rodzinę funkcji o wszystkich możliwych wartościach modułu ${\displaystyle k}$.

(a) Wykresy funkcji amplitudy ${\displaystyle \phi ={\text{am}}(u,k)}$ i odpowiadającej jej funkcji całki eliptycznej ${\displaystyle u=F(\phi ,k)}$ są wzajemnie symetryczne względem prostej y = x, co jest charakterystyczne dla wszystkich funkcji wzajemnie odwrotnych.

(b) Z wykresów tych funkcji widać periodyczność przyrostu ich wartości. Np. funkcja amplitudy ${\displaystyle \phi ={\text{am}}(u,k)}$ wzrasta co ${\displaystyle \pi /2}$ o wartość ${\displaystyle K(k)}$.

Def. Funkcjami eliptycznymi Jacobiego sinus ${\displaystyle {\text{sn}}(u,k)}$, cosinus ${\displaystyle {\text{cn}}(u,k)}$, delta ${\displaystyle {\text{dn}}(u,k)}$ nazywamy następujące funkcje^[1]

1. Sinus amplitudy:

${\displaystyle {\text{sn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\sin \phi =\sin {\text{am}}(u,k^{2})}$

2. Cosinus amplitudy

${\displaystyle {\text{cn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\cos \phi =\cos {\text{am}}(u,k^{2})}$

3. Delta amplitudy

${\displaystyle {\text{dn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}[{\text{am}}(u,k^{2})]}}}$

Tw. Funkcje eliptyczne Jacobiego przyjmują wartości rzeczywiste dla rzeczywistych wartości zmiennej ${\displaystyle u}$ oraz dla ${\displaystyle 0\leq k^{2}\leq 1.}$^[2]

Tw. Funkcje eliptyczne Jacobiego spełniają tożsamości:

• ${\displaystyle s^{2}+c^{2}=1}$ (por. jedynka trygonometryczna)
• ${\displaystyle k^{2}s^{2}+d^{2}=1}$

gdzie ${\displaystyle s=\operatorname {sn} (x,k),}$ ${\displaystyle c=\operatorname {cn} (x,k)}$ i ${\displaystyle d=\operatorname {dn} (x,k).}$

Funkcje ${\displaystyle {\text{sn}}(u,k),{\text{cn}}(u,k),{\text{dn}}(u,k)}$ stanowią więc uogólnienie funkcji trygonometrycznych, gdyż spełniają tożsamości analogiczne jak funkcje trygonometryczne.

Zachodzą następujące zależności^[3]:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{cn}}(x+y,k)&={\tfrac {{\text{cn}}(x)\;{\text{cn}}(y)-{\text{sn}}(x)\;{\text{sn}}(y)\;{\text{dn}}(x)\;{\text{dn}}(y)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}},\\[8pt]{\text{sn}}(x+y,k)&={\tfrac {{\text{sn}}(x)\;{\text{cn}}(y)\;{\text{dn}}(y)+{\text{sn}}(y)\;{\text{cn}}(x)\;{\text{dn}}(x)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}},\\[8pt]{\text{dn}}(x+y,k)&={\tfrac {{\text{dn}}(x)\;{\text{dn}}(y)-k^{2}\;{\text{sn}}(x)\;{\text{sn}}(y)\;{\text{cn}}(x)\;{\text{cn}}(y)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$

Dla ${\displaystyle k=0}$ dwa pierwsze z powyższych wzorów przechodzą w znane z klasycznej trygonometrii wzory na sinus i cosinus sumy kątów.

Tw. Funkcje Jacobiego ${\displaystyle \operatorname {sn} (x,k),}$ ${\displaystyle \operatorname {cn} (x,k),}$ ${\displaystyle \operatorname {d} (x,k)}$ dla ${\displaystyle k=0}$ redukują się do funkcji sinus, cosinus i stałej^[2]:

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x,0)=\sin x}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x,0)=\cos x}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x,0)=1}$

zaś dla ${\displaystyle k^{2}=1}$ redukują się do funkcji hiperbolicznych

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x,1)=\operatorname {tgh} x}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x,1)=\operatorname {sech} x}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x,1)=\operatorname {sech} x}$

Dla argumentu zerowego funkcje te dla dowolnej wartości modułu ${\displaystyle k}$ przyjmują wartości:

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (0,k)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (0,k)=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (0,k)=1}$

Tw. Pochodne funkcji eliptycznych Jacobiego^[3]:

• ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}\operatorname {sn} (x,k)=\operatorname {cn} \operatorname {dn} }$
• ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}\operatorname {cn} (x,k)=-\operatorname {sn} \operatorname {dn} }$
• ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}\operatorname {dn} (x,k)=-k^{2}\operatorname {sn} \operatorname {cn} }$

Dla argumentów rzeczywistych ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant 1}$ słuszne są poniższe twierdzenia.

(a) Funkcja ${\displaystyle {\text{sn}}(x,k)}$ spełnia nieliniowe równania różniczkowe

• ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}+(1+k^{2})f-2k^{2}f^{3}=0}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-k^{2}f^{2})}$

(b) Funkcja ${\displaystyle {\text{cn}}(x,k)}$ spełnia nieliniowe równania różniczkowe

• ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}+(1-2k^{2})f+2k^{2}f^{3}=0}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-k^{2}+k^{2}f^{2})}$

(c) Funkcja ${\displaystyle {\text{dn}}(x,k)}$ spełnia nieliniowe równania różniczkowe

• ${\displaystyle {\tfrac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}-(2-k^{2})f+2f^{3}=0}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(f^{2}-1)(1-k^{2}-f^{2})}$

Funkcje eliptyczne Jacobiego można rozwinąć w szereg następująco^[3][4]

${\displaystyle {\mbox{sn}}(k,u)=u-(1+k^{2}){\frac {u^{3}}{3!}}+(1+14k^{2}+k^{4}){\frac {u^{5}}{5!}}-(1+135k^{2}+135k^{4}+k^{6}){\frac {u^{7}}{7!}}+\dots }$

${\displaystyle {\mbox{cn}}(k,u)=1-{\frac {u^{2}}{2!}}+(1+4k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-(1+44k^{2}+16k^{4}){\frac {u^{6}}{6!}}+\dots }$

${\displaystyle {\mbox{dn}}(k,u)=1-k^{2}{\frac {u^{2}}{2!}}+k^{2}(4+k^{2}){\frac {u^{4}}{4!}}-k^{2}(16+44k^{2}+k^{4}){\frac {u^{6}}{6!}}+\dots }$

Df. Definiuje się 3 funkcje utworzone z odwrotności funkcji Jakobiego:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ns} (u)&=1/{\operatorname {sn} (u)}\\[8pt]\operatorname {nc} (u)&=1/{\operatorname {cn} (u)}\\[8pt]\operatorname {nd} (u)&=1/{\operatorname {dn} (u)}\\[8pt]\operatorname {sc} (u)&={\operatorname {sn} (u)}/{\operatorname {cn} (u)}\end{aligned}}}$

Df. Definiuje się 9 funkcji utworzonych z ilorazów funkcji Jakobiego:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)&={\operatorname {sn} (u)}/{\operatorname {cn} (u)}\\[8pt]\operatorname {sd} (u)&={\operatorname {sn} (u)}/{\operatorname {dn} (u)}\\[8pt]\operatorname {dc} (u)&={\operatorname {dn} (u)}/{\operatorname {cn} (u)}\\[8pt]\operatorname {ds} (u)&={\operatorname {dn} (u)}/{\operatorname {sn} (u)}\\[8pt]\operatorname {cs} (u)&={\operatorname {cn} (u)}/{\operatorname {sn} (u)}\\[8pt]\operatorname {cd} (u)&={\operatorname {cn} (u)}/{\operatorname {dn} (u)}\end{aligned}}}$

Definicje powyższe funkcji są analogiczne do definicji funkcji trygonometrycznych ${\displaystyle {\text{tg}}(x),{\text{ctg}}(x)}$ itd.; np. ${\displaystyle {\text{tg}}(x)={\tfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}.}$

Funkcję amplitudy Jakobiego i funkcje eliptyczne Jacobiego definiuje się w ogólności na zbiorze liczb zespolonych.

Tw. Funkcje eliptyczne Jakobiego są funkcjami analitycznymi.

Tw. Niech

${\displaystyle K'=K(1-k^{2})}$

gdzie ${\displaystyle K\equiv K(k)=F({\tfrac {\pi }{2}},k)}$ - całka eliptyczna zupełna pierwszego rodzaju (zależy od modułu k). Okresy funkcji eliptycznych wynoszą^[2]:

• dla ${\displaystyle \operatorname {sn} (x,k^{2}):}$ ${\displaystyle 4K}$ oraz ${\displaystyle 2iK'}$
• dla ${\displaystyle \operatorname {cn} (x,k^{2}):}$ ${\displaystyle 4K}$ oraz ${\displaystyle 2K+2iK'}$
• dla ${\displaystyle \operatorname {dn} (x,k^{2}):}$ ${\displaystyle 2K}$ oraz ${\displaystyle 4iK'}$

przy czym pierwsza liczba dotyczy okresu funkcji wzdłuż osi liczb rzeczywistych, a druga wzdłuż osi liczb urojonych.

• funkcje eliptyczne
• całki eliptyczne
• funkcja eliptyczna Weierstrassa

W języku polskim:

• G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983, str. 296-300.

W języku angielskim:

• M. Abramowitz, I.A. Stegun [Editors]: Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions, chapter 16 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, Dover, New York 1972, dostępne online

oraz

• A.G. Greenhill: The applications of elliptic functions, Macmillan, London – New York 1892.
• A.C. Dixon: The Elementary Properties of the Elliptic Functions, with Examples, Macmillan 1894.
• H. Hancock: Lectures on the Theory of Elliptic Functions, J.Wiley&sons, New York 1910.
• B. Harry, Higher transcendental functions, s. 294–383, XIII. Elliptic functions and integrals, tom II 1953.
• E.T. Whittaker, G.N. Watson: A Course of Modern Analysis, Cambridge 1996.

W języku francuskim:

• C.G.J. Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg 1829.
• C. Briot, J.C. Bouquet: Théorie des fonctions elliptiques, Gauthier Villars, Paris 1875.
• G.H. Halphen: Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, tome 1–4, Gauthier Villars, Paris 1886–1891.
• J. Tannery, J. Molk: Eléments de la théorie des fonctions elliptiques, tome 1 Introduction. Calcul différentiel. Ire partie, tome 2 Calcul différentiel. IIe partie, tome 3 Calcul intégral. Ire partie, Théorèmes généraux. Inversion, tome 4 Calcul intégral. IIe partie, Applications, Gauthier Villars, Paris 1893.
• P. Appell, E. Lacour: Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications, Gauthier Villars, Paris 1897.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jacobi Elliptic Functions, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).