Jako dziecko interesował się wieloma dyscyplinami sportowymi. W zimie jeździł na nartach, latem grał w piłkę nożną, uprawiał także hokej, pływanie, koszykówkę i tenis. Narty po raz pierwszy założył w wieku dwóch lat. Trenował na położonej koło domu małej skoczni Bjartbakken. W wieku 10 lat zapisał się do klubu Oppsal IF. Podczas swych pierwszych zawodów wystąpił w kombinezonie uszytym przez matkę. Choć wygrał ten konkurs, w latach dziecięcych był raczej przeciętnym skoczkiem. Nigdy nie udało mu się dostać do Hovedlandsrennet – konkursu, w którym startują nastolatkowie z całej Norwegii. W wieku 21 lat zdobył swój pierwszy tytuł mistrza Norwegii. Tytuł ten zdobył później jeszcze ośmiokrotnie[2].
W Pucharze świata w skokach zadebiutował w sezonie 1989/1990, zajmując 45. miejsce w konkursie rozegranym 16 grudnia 1989 w Sapporo. W sezonie tym wystartował jeszcze ośmiokrotnie, jednak punktów nie wywalczył, wobec czego nie został sklasyfikowany w klasyfikacji generalnej. Pierwsze punkty w karierze zdobył na początku sezonu 1990/1991, 16 grudnia 1990 zajmując 10. miejsce w Sapporo, dokładnie rok po swoim debiucie. Pierwszą wielką imprezą w jego karierze były mistrzostwa świata w Val di Fiemme w 1991, gdzie był szesnasty na dużej skoczni, a na normalnej zajął na 52. miejsce. W konkursie drużynowym Norwegowie z Bredesenem w składzie zajęli czwarte miejsce, przegrywając walkę o brązowy medal z reprezentantami Niemiec. Sezon ten zakończył na 34. miejscu.
Zimą następnego roku pojechał na igrzyska olimpijskie w Albertville, gdzie zajął ostatnie, 58. miejsce na skoczni normalnej i 57. miejsce (trzecie od końca) na dużej. Norweskie media wzywały Espena do zakończenia kariery i niepojawiania się na międzynarodowych zawodach. Pewien szwedzki dziennikarz porównał Norwega do Eddiego „Eagle” Edwardsa, nazywając go „Espen the Eagle”[2]. W tym samym roku zajął 11. miejsce na mistrzostwach świata w lotach w Harrachovie.
Przełom w jego karierze nastąpił w 1993. Na mistrzostwach świata w Falun zwyciężył w konkursie indywidualnym na dużej skoczni, wyprzedzając Jaroslava Sakalę oraz Andreasa Goldbergera. Ponadto wspólnie z Bjørnem Myrbakkenem, Helge Brendryenem i Øyvindem Bergiem zdobył złoty medal w konkursie drużynowym. W konkursie indywidualnym na skoczni normalnej zajął 19. miejsce. 6 marca 1993 w Lahti po raz pierwszy stanął na podium zawodów PŚ, zajmując trzecie miejsce, a cztery dni później, w Lillehammer odniósł pierwsze pucharowe zwycięstwo. W klasyfikacji generalnej sezonu 1992/1993 zajął piąte miejsce.
Najlepsze wyniki osiągnął w sezonie 1993/1994. Drugie miejsce w Oberstdorfie, zwycięstwo w Garmisch-Partenkirchen, piąte miejsce w Innsbrucku i zwycięstwo w Bischofshofen dało mu zwycięstwo w 42. edycjiTurnieju Czterech Skoczni. Norweski dziennik Adresseavisen zamieścił długi reportaż o Turnieju. Triumf ten podniósł oczekiwania norweskich kibiców wobec Bredesena w związku ze zbliżającymi się igrzyskami w Lillehammer. Już po pierwszej serii skoków na normalnej skoczni Bredesen prowadził po skoku na odległość 100,5 m. Jego młodszy rodak Lasse Ottesen skoczył co prawda 2 metry dalej, jednak otrzymał niższe oceny za styl; na trzecim miejscu znajdował się Noriaki Kasai. W drugiej serii Bredesen ustanowił rekord skoczni wynikiem 104,0 m i zapewnił sobie pierwszy złoty medal dla Norwegii od czasu wprowadzenia stylu „V”. Wyprzedził drugiego w konkursie Ottesena o 14 punktów, a trzeciego Dietera Thomę o ponad 20 punktów. Rekord Norwega na normalnej skoczni w Lillehammer pozostał niepobity aż do 3 grudnia 2011, kiedy to o pół metra dalej skoczył Andreas Kofler podczas zawodów Pucharu Świata. Bredesen prowadził także po pierwszej serii skoków na dużej skoczni, po skoku na 135,5 m, wyprzedzając Jensa Weißfloga i Andreasa Goldbergera. Jednakże jego skok w drugiej kolejce na odległość 122,0 metrów wystarczył do zajęcia drugiego miejsca. Zwyciężył Weißflog, który skoczył 11 metrów dalej, trzecie miejsce utrzymał Goldberger. W konkursie drużynowym Norwegowie nie zdobyli medalu, zajmując czwarte miejsce po przegranej walce o brązowy medal z reprezentantami Austrii. W sezonie 1993/1994 Bredesen łącznie dwunastokrotnie stawał na podium, w tym cztery razy zwyciężał, sześć razy był drugi i dwa razy trzeci, co dało mu zwycięstwo w klasyfikacji generalnej PŚ. Ponadto zajął drugie miejsce w sezonie 1993/1994Pucharu Świata w lotach i zdobył srebrny medal na mistrzostwach świata w lotach w Planicy, w obu przypadkach ulegając jedynie Jaroslavowi Sakali.
Podczas treningu w lecie 1994 doznał kontuzji karku, która spowodowała, że nie mógł trenować z pełnym obciążeniem[3]. W sezonie 1994/1995 tylko raz stanął na podium, 5 lutego 1995 w Falun odniósł swoje ostatnie zwycięstwo w karierze. Miesiąc później, podczas mistrzostw świata w Thunder Bay zajął siedemnaste miejsce na dużej skoczni, na normalnym obiekcie zajął 24. miejsce, a wraz z kolegami z reprezentacji zajął siódme miejsce w konkursie drużynowym. Siódme miejsce zajął także na mistrzostwach świata w lotach w Tauplitz w 1996.
Ostatni raz na podium zawodów Pucharu Świata stanął na początku sezonu 1996/1997 – 1 grudnia 1996 zajął drugie miejsce w Lillehammer. W klasyfikacji generalnej zajął 16. miejsce. Na odbywających się w 1997 mistrzostwach świata w Trondheim prowadził po pierwszej rundzie skoków na skoczni normalnej, jednak zepsuł drugi skok i zajął ostatecznie 15. pozycję. Na dużej skoczni indywidualnie zajął 34. miejsce, a drużynowo Norwegowie z Bredesenem w składzie zajęli piąte miejsce. Mimo tych niepowodzeń 23 marca 1997 na Velikance w Planicy ustanowił nieoficjalny rekord świata w długości skoku narciarskiego wynikiem 210 metrów[1]. Jego ostatnim dużym sukcesem było drugie miejsce w klasyfikacji generalnej Letniego Grand Prix w 1997 roku.
Karierę zakończył w 2000 roku. Wielokrotnie służył radą norweskim trenerom, był nawet kandydatem do objęcia stanowiska trenera reprezentacji Norwegii, do czego w końcu nie doszło. Obecnie Espen mieszka w miejscowości Kvaal w pobliżu Trondheim. Pracuje jako specjalista od marketingu i organizacji w drużynie Troenderhopp. Jest także komentatorem skoków dla norweskiej telewizji NRK[4]. Ma żonę - Vibeke i córkę - Aurorę[2].