Drzewo pitagorejskie (także drzewo Pitagorasa) – fraktal zbudowany z kwadratów na płaszczyźnie, swym kształtem przypominający drzewo^{[1][2][3][4][5][6][7]}. Nazwany został od imienia greckiego matematyka i myśliciela Pitagorasa, gdyż na każdym etapie konstrukcji wymaga rysowania dwóch kwadratów opartych na odpowiednich bokach trójkąta prostokątnego, których własności stanowią ilustrację twierdzenia Pitagorasa^[2][3][5][6]. Rozważane są drzewa symetryczne, w konstrukcji których występują trójkąty prostokątne równoramienne, i drzewa ogólne, w konstrukcji których występują trójkąty prostokątne z kątami ostrymi ustalonymi, ale innymi niż 45°.

Pierwszy rysunek fraktala został sporządzony (ręcznie) w roku 1942 przez holenderskiego inżyniera i nauczyciela matematyki Alberta E. Bosmana (1891–1961). Bosman opisał fraktal i jego własności w roku 1957 w swoim dziele Het wondere onderzoekingsveld der vlakke meetkunde^[2].

Odpowiednio użyty, może służyć do przedstawiania informacji w postaci struktury danych drzewa^[4]. Jest też bardzo łatwy w wykonaniu^[2].

Podczas Festiwalu Symetrii w Delfcie w Holandii w 2013 roku (The 2013 Symmetry Festival), pokazano drzewo pitagorejskie zbudowane z drewnianych prostopadłościanów, które ułożone były przy pomocy trójkątów prostokątnych równoramiennych^[2].

1. Konstrukcja fraktala zaczyna się od narysowania dowolnego kwadratu.
2. Dorysowujemy do niego trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna jest górną krawędzią tego kwadratu.
3. Na przyprostokątnych trójkąta budujemy kolejne kwadraty.
4. Powtarzamy powyższe operacje 2 i 3.

Poniżej przedstawione zostały kolejne iteracje. Możliwa jest też zmiana długości przyprostokątnych tak, że wyższe „gałęzie” zmienią kierunek, w którym powstają.

Drzewo Pitagorejskie można narysować tylko w przybliżeniu, gdyż pełny fraktal składa się z nieskończonej liczby coraz mniejszych trójkątów i kwadratów^[2].

Uwaga: Ta sekcja dotyczy konstrukcji wykorzystującej trójkąt prostokątny równoramienny.

Zakładając, że początkowy kwadrat jest jednostkowy, ${\displaystyle n}$-ta iteracja w konstrukcji „dodaje” ${\displaystyle 2^{n}}$ kwadratów o długości boku ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{n}}$ każdy^[2][5][6]. Niektóre kwadraty mogą na siebie nachodzić^[5]. Jeśli początkowy kwadrat ma wymiary ${\displaystyle a\times a,}$ to całe drzewo zmieści się w prostokącie o wymiarach ${\displaystyle 6a\times 4a}$^[2][5][8].

Niech początkowy kwadrat będzie jednostkowy, a kolejne trójkąty prostokątne równoramienne. Dodajmy teraz do siebie długości boków kwadratów oraz długości przekątnych kwadratów, jak na ilustracji powyżej. W rezultacie tej operacji otrzymamy sumę dwóch szeregów szeregów geometrycznych. Zatem wysokość ${\displaystyle H}$ drzewa Pitagorasa wynosi:

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=1+{\sqrt {2}}\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)+{\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}}+{\sqrt {2}}\cdot {\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{3}}+{\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{4}}+{\sqrt {2}}\cdot {\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{5}}+\ldots \\&=\left(1+{\sqrt {2}}\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right)\cdot \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{n-1}\\&=\left(1+{\sqrt {2}}\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right)\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=4.\end{aligned}}}$

Niech początkowy kwadrat ma długość boku ${\displaystyle 1,}$ a kolejne trójkąty niech będą prostokątne i równoramienne. Weźmy pod uwagę jedynie kwadraty umieszczone najniżej na pierwszej „gałęzi” fraktala odchodzącej w prawo lub w lewo.

Korzystając z symetrii, chcemy obliczyć tylko szerokość kwadratów przechodzących w prawo. Nie uwzględniamy początkowego kwadratu. Sumujemy odpowiednie długości przekątnych kwadratów i długości boków kwadratów. Zatem szerokość ${\displaystyle W}$ połowy fraktala wyrażamy wzorem:

${\displaystyle {\begin{aligned}W&={\sqrt {2}}\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)+{\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}}+{\sqrt {2}}\cdot {\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{3}}+{\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{4}}+{\sqrt {2}}\cdot {\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{5}}+\dots \\&=\left({\sqrt {2}}\cdot \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)+{\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}}\right)\cdot \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{n-1}\\&={\frac {3}{2}}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{n-1}\\&={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=3.\end{aligned}}}$

Zatem szerokość całego fraktala jest równa ${\displaystyle 6.}$

Specjalną właściwością fraktala jest możliwość znajdywania konkretnych kwadratów po przypisaniu im liczb określoną metodą.

Oznaczmy początkowy kwadrat numerem 1. Dla dowolnej liczby naturalnej ${\displaystyle n,}$ nad kwadratem o numerze ${\displaystyle n,}$ skonstruowanym dwóm kwadratom przypiszemy numery ${\displaystyle 2n}$ i ${\displaystyle 2n+1.}$

Jeżeli kwadraty zostaną oznakowane w powyższy sposób, możemy użyć dwójkowego systemu liczbowego, by znaleźć konkretny kwadrat.

Zapiszmy liczby w systemie dziesiętnym systemem dwójkowym. Niech 1 odpowiada skrętowi w prawo (do prawego kwadratu), a zero w lewo (do lewego sąsiadującego kwadratu).

Przykład:

• 45 = 101101_2, z czego wynika, że by dostać się do kwadratu oznaczonego numerem 45, musimy skręcić w prawo, w lewo, dwa razy w prawo, w lewo i w prawo.

Jeśli początkowy trójkąt fraktala będzie prostokątny i równoramienny, to po kilkunastu iteracjach „korona” drzewa będzie krzywą Lévy’ego^[2][5].

Wybierając kwadraty o indeksach (zdefiniowanych tak jak w sekcji powyżej) stanowiących potęgi liczby dwa uzyskamy spiralę logarytmiczną; działa to jednak także z dowolnie wybranym kwadratem, pod warunkiem, że kolejne będą zawsze kwadratami po jego prawej lub lewej stronie^[2][10]. Liczba możliwych do utworzenia w ten sposób spiral jest więc nieskończona^[2][10].

Fraktal wykorzystywany jest jako prosta wizualizacja działania twierdzenia Pitagorasa^[7]. Jest prosty do stworzenia np. na lekcji matematyki^[2]. Wykorzystuje się go także do produkcji anten fraktalnych^[8] oraz do wizualizacji informacji w postaci struktury danych drzewa^[4].

• Het wondere onderzoekingsveld der vlakke meetkunde
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pythagoras Tree, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).

• Generator drzewa Pitagorasa
• Generowanie fraktala w różnych językach programowania