Całka J przedstawia sposób opisu pola naprężeń, a dokładniej – stanu energetycznego w strefie czoła pęknięcia. Teoretyczne podstawy zostały opracowane w 1967 przez Cherepanowa i w 1968 przez Jima Rice’a niezależnie. Udowodnili, że całka J jest niezależna od drogi całkowania.

Dwuwymiarowa całka J była początkowo określana jako^[1]

${\displaystyle J:=\int _{\Gamma }\left(W~dx_{2}-\mathbf {t} \cdot {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~ds\right),}$

gdzie ${\displaystyle W(x_{1},x_{2})}$ jest oznacza gęstość energii odkształcenia, ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ oznaczają współrzędne układu, ${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ oznacza wektor sił powierzchniowych na krzywej ${\displaystyle \Gamma }$ odpowiadającym jednostkowemu wektorowi ${\displaystyle \mathbf {n} }$ zewnętrznej normalnej do ${\displaystyle \Gamma ,}$ ${\displaystyle \sigma }$ oznacza tensor naprężeń Cauchy’ego, a ${\displaystyle \mathbf {u} }$ wektor przemieszczenia. Gęstość energii odkształcenia jest dany przez

${\displaystyle W=\int _{0}^{\epsilon }{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\epsilon }}~;~~{\boldsymbol {\epsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right].}$

Dla materiału liniowo-sprężystego, gęstość energii odkształcenia w punkcie upraszcza się do:

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\epsilon _{ij}.}$

Całka J wokół czoła pęknięcia jest często wyrażana w bardziej ogólnej formie (w konwencji Einsteina) jako

${\displaystyle J_{i}:=\lim _{\epsilon \to 0}\oint _{\Gamma _{\epsilon }}\left(Wn_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)d\Gamma }$

gdzie ${\displaystyle J_{i}}$ oznacza składową całki J dla otwartej szczeliny w kierunku ${\displaystyle x_{i}}$ a ${\displaystyle \epsilon }$ jest małym obszarem wokół czoła szczeliny.

Używając twierdzenia Greena, można pokazać, że całka przyjmuje wartość 0.

• mechanika pękania