Algebra Jiang-Su (oznaczana jest zwykle symbolem ℨ) – pierwszy przykład nuklearnej, prostej, stabilnie skończonej, C*-algebry z jedynką, która ma taką samą K-teorię jak algebra liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Algebra Jiang-Su jest obiektem istotnym z punktu widzenia programu klasyfikacji C*-algebr; algebra ℨ została skonstruowana przez Jiang Xinhuia and Su Hongbinga w 1999 roku^[1]. Algebra ℨ odgrywa podobną rolę w teorii C*-algebr do hiperskończonego faktora typu II₁ w teorii algebr von Neumanna.

Algebrę ℨ można opisać jako granicę prostą algebr ${\displaystyle \mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]}$ opisanych niżej.

Niech ${\displaystyle m_{0},m,m_{1}}$ są takimi liczbami naturalnymi, że ${\displaystyle m_{0}}$ i ${\displaystyle m_{1}}$ dzielą ${\displaystyle m}$ oraz niech

${\displaystyle \mathrm {I} [m_{1},m,m_{2}]=\left\{f\in C\left([0,1],M_{m}\right)\colon f(0)\in M_{\frac {m}{m_{0}}},f(1)\in M_{\frac {m}{m_{1}}}\right\}.}$

Wówczas ${\displaystyle \mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]}$ jest C*-algebrą, która nie ma nietrywialnych rzutów wtedy i tylko wtedy, gdy liczby ${\displaystyle m_{0}}$ i ${\displaystyle m_{1}}$ są względnie pierwsze.

Niech ${\displaystyle A=\mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}].}$ Wówczas

• ${\displaystyle (K_{0}(A),K_{0}(A)^{+},[1_{A}])=(\mathbb {Z} ,\mathbb {N} ,{\text{nwd}}(m_{0},m_{1})),}$
• ${\displaystyle K_{1}(A)=\mathbb {Z} _{p},}$ gdzie ${\displaystyle p=m\cdot {\text{nwd}}(m_{0},m_{1})/(m_{0}m_{1}).}$

gdzie:

${\displaystyle {\text{nwd}}}$ – największy wspólny dzielnik.

W szczególności ${\displaystyle A=\mathrm {I} [m_{0},m,m_{1}]}$ ma taką samą K-teorię jak ${\displaystyle \mathbb {C} }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle m_{0}}$ i ${\displaystyle m_{1}}$ są względnie pierwsze.

Istnieje ciąg induktywny

${\displaystyle A_{1}\,{\stackrel {\phi _{1}}{\longrightarrow }}\,A_{2}\,{\stackrel {\phi _{2}}{\longrightarrow }}\,A_{3}\,{\stackrel {\phi _{3}}{\longrightarrow }}\dots ,}$

gdzie ${\displaystyle A_{n}=\mathrm {I} [p_{n},d_{n},q_{n}],{\text{nwd}}(p_{p},q_{n})=1}$ oraz odwzorowania ${\displaystyle \phi _{m,n}=\phi _{n-1}\circ ...\circ \phi _{m+1}\circ \phi _{m}:A_{m}\to A_{n}}$ są postaci

${\displaystyle \phi _{m,n}(f)=u^{*}\left[{\begin{array}{c}f\circ \xi _{1}&0&\ldots &0\\0&f\circ \xi _{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\ldots &f\circ \xi _{n}\end{array}}\right]u,}$

przy czym ${\displaystyle u}$ jest pewną ciągłą drogą w grupie ${\displaystyle U(d_{n})}$ macierzy unitarnych stopnia ${\displaystyle d_{n}}$ oraz ${\displaystyle (\xi _{k})_{k\leqslant n}}$ jest takim ciągiem ciągłych dróg w przedziale [0,1], że

${\displaystyle |\xi _{i}(x)-\xi _{i}(y)|\leqslant \left({\frac {1}{2}}\right)^{n-m}\;\;(x,y\in [0,1],i\leqslant n).}$

Algebra ℨ jest granicą induktywną powyższego ciągu przy czym jest ona jednoznaczna ze względu na dobór ciągu algebr ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...}$ jak wyżej.