Ten artykuł należy dopracować:

od 2024-03 → zweryfikować treść i dodać przypisy,
od 2024-04 → usunąć/zweryfikować prawdopodobną twórczość własną.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

0,(9) (lub 0,999…) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość ${\displaystyle 0{,}(9)=1}$ można udowodnić na kilka sposobów.

Dowód wykorzystuje przedstawienie ułamka ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$ w postaci liczby dziesiętnej ${\displaystyle 0{,}(1).}$ Z równości ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}=0{,}(1)}$ natychmiast wynika

${\displaystyle 0{,}(9)=9\cdot 0{,}(1)=9\cdot {\frac {1}{9}}=1.}$

Podobnie ułamek ${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}={\tfrac {1}{3}}}$ można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej ${\displaystyle 0{,}(3).}$ Stąd

${\displaystyle 0{,}(9)=3\cdot 0{,}(3)=3\cdot {\frac {1}{3}}=1.}$

W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:

${\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(1)+0{,}(8)={\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}=1.}$

Podobnie dla poniższych rozkładów

${\displaystyle 0{,}(9)=0{,}(2)+0{,}(7)=0{,}(3)+0{,}(6)=0{,}(4)+0{,}(5)=0{,}(1)+0{,}(2)+0{,}(2)+0{,}(4)}$  itd.

Dowód polega na pomnożeniu liczby 0,(9) przez 10, odjęciu od otrzymanego wyniku 0,(9), a następnie na podzieleniu całości przez 9:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots \\10x&=9{,}999\ldots \\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots \\9x&=9\\x&=1.\end{aligned}}}$

Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

${\displaystyle 0{,}(9)=0{,}9+0{,}09+0{,}009+0{,}0009+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}}$

i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym ${\displaystyle a_{1}={\frac {9}{10}},\,\,q={\frac {1}{10}},}$ dostaniemy:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}={\frac {a_{1}}{1-q}}={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {\frac {9}{10}}{\frac {9}{10}}}=1.}$

Uwaga 1.

Pierwszy dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej.

Dla ułamków postaci ${\displaystyle {\frac {c}{9}},\,\,1\leqslant c<9}$ zachodzi równość

${\displaystyle 10\cdot {\frac {c}{9}}=c+{\frac {c}{9}},}$

z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie ${\displaystyle c_{0}=0,\quad c_{1}=c_{2}=c_{3}=\ldots ,}$ tzn.

${\displaystyle {\frac {1}{9}}=0{,}(1),\quad {\frac {2}{9}}=0{,}(2),\quad {\frac {3}{9}}=0{,}(3),\quad \dots \quad {\frac {8}{9}}=0{,}(8).}$

Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka ${\displaystyle {\tfrac {9}{9}},}$ stąd nieoczywista równość

${\displaystyle {\frac {9}{9}}=0{,}(9),}$

którą należy wykazać.

Uwaga 2.

Dowód 2. jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem.

Uwaga 3.

Ściśle biorąc, dwa pierwsze dowody, chociaż bardzo intuicyjne, korzystają implicite z pewnych własności szeregów zbieżnych:

• jeśli ${\displaystyle \sum _{i}a_{i}}$ jest zbieżny, to ${\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}}$ też jest zbieżny oraz ${\displaystyle \sum _{i}k\cdot a_{i}=k\cdot \sum _{i}a_{i},}$
• jeśli ${\displaystyle \sum _{i}a_{i},\sum _{i}b_{i}}$ są zbieżne, to ${\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})}$ też jest zbieżny oraz ${\displaystyle \sum _{i}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i}a_{i}+\sum _{i}b_{i}.}$

Zobacz galerię związaną z tematem: 0,(9)

• paradoksy Zenona z Elei

• Ułamek 0,(9), Uniwersytet Śląski w Katowicach (UŚ), math.us.edu.pl [dostęp 2024-11-29].