Strømme hadde magistergrad i litteratur. Han arbeidet en periode som konsulent i Tiden Norsk Forlag. I 1955 blei han redaktør i Cappelen, og i 1973 overtok han (sammen med Jan Wiese) som administrerende direktør der. I 1987 blei forlaget solgt til Bonnier, og Strømme var deretter i flere år styreleder.
Han hadde flere verv i Den norske Forleggerforening, blant annet som leder fra 1981 til 1984. Han var også aktiv i den internasjonale forleggerorganisasjonen International Publishers Association (IPA), der han i to perioder leda komiteen for «Freedom to Publish». Strømme var også i en periode formann i Den norske støttekomiteen for Salman Rushdie.
