Rönnbäck er utdannet som bygningsingeniør som skiftet over til å bli skuespiller og studerte ved Scenskolan i Stockholm 1974-1977. Han ble engasjert ved Göteborgs Stadsteater, Skånska Teatern 1977-1978 og ved Dramaten 1978-1982. Han grunnla i 1993 Stiftelsen Shakespeare ´91, som sammen med skoleledere og ledergrupper sirkler inn problem og utformer handlingsprogram for enkelt skoler.
