Pauli-matriser er tre 2 × 2 matriser som ble innført av Wolfgang Pauli for å beskrive ikke-relativistiske partikler med spinn-1/2. De er hermitiske og kan benyttes til å beskrive alle andre kvantemekaniske system som har et todimensjonalt Hilbert-rom.

Et viktig eksempel er en qubit som er den minste enheten i en kvantedatamaskin. Tillatte tilstander for slike system kan representeres av punkter på en kuleflate som kalles en «Bloch-sfære».

Matrisene er definerte som:

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

hvor i = √-1 er den imaginære enheten. De utgjør den fundamentale representasjonen av generatorene til Lie-gruppen SU(2) som beskriver rotasjoner. Samtidig kan de betraktes som basiselementene i Clifford-algebraen Cℓ(3,0). Dirac-ligningen og dens løsninger for relativistiske partikler med spinn-1/2 er fundert på Pauli-matriser.^[1]

Ved direkte utregning finner man

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$

hvor ${\displaystyle I}$ er 2 × 2 enhetsmatrisen. Den blir ofte utelatt i mange sammenhenger der den ikke har noen betydning. Når matrisene er forskjellige, finner man på samme måte

${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=-\sigma _{2}\sigma _{1}=i\sigma _{3}}$

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=-\sigma _{3}\sigma _{2}=i\sigma _{1}}$

${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=-\sigma _{1}\sigma _{3}=i\sigma _{2}}$

Det betyr at ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i.}$ Disse forskjellige produktene kan sammenfattes delvis i kommutatoren

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]&\equiv \sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a}\\&=2i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}\end{aligned}}}$

når man benytter det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet og Einsteins summekonvensjon, samt antikommutatoren

${\displaystyle {\begin{aligned}\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&\equiv \sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a}\\&=2\delta _{ab}\end{aligned}}}$

ved bruk av Kronecker-deltaet. Addisjon av disse to uttrykkene gir den fundamentale sammenhengen

${\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=\delta _{ab}+i\varepsilon _{abc}\sigma _{c}}$

Den inneholder alle de algebraiske egenskapene til Pauli-matrisene.^[2]

I tillegg til at matrisene er hermitiske, har også deres determinanter (det) og spor (tr) bestemte verdier,

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {\sigma _{a}}&=-1\\{\text{tr}}\,\sigma _{a}&=0\end{aligned}}}$

Grunnen for dette er at de alle har de samme to egenverdiene +1 og -1.

I mange sammenhenger er det hensiktsmessig å betrakte de tre Pauli-matrisene som komponentene til en vektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}).}$ Det gjør det mulig å beregne dens komponent langs en vilkårlig annen vektor u = (u_x, u_y, u_z } som

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} =\sigma _{x}u_{x}+\sigma _{y}u_{y}+\sigma _{z}u_{z}={\begin{pmatrix}u_{z}&u_{x}-iu_{y}\\u_{x}+iu_{y}&-u_{z}\end{pmatrix}}}$

På denne måten konstrueres en «Pauli-vektor» med determinant

${\displaystyle \det({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} )=-(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2})=-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }$

Dens kvadrat kan skrives som

${\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} )^{2}={\begin{pmatrix}u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}&0\\0&u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\end{pmatrix}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }$

når man dropper enhetsmatrisen på høyre side.

Mer generelt produktet mellom to forskjellige Pauli-vektorer

${\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {v} )&=\sigma _{a}\sigma _{b}u_{a}v_{b}=(\delta _{ab}+i\varepsilon _{abc}\sigma _{c})u_{a}v_{b}\\&=\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\end{aligned}}}$

da vektorproduktet kan uttrykkes ved Levi-Civita-symbolet som inngår i det siste leddet.^[3]

Pauli-matrisene kan benyttes ved Lorentz-transformasjoner slik de opptrer i kovariant relativitetsteori. Sammen med enhetsmatrisen utgjør de da en firevektor med kovariante komponenter ${\displaystyle \sigma _{\mu }=(I,{\boldsymbol {\sigma }}).}$ Hvis nå ${\displaystyle u^{\mu }=(u_{0},\mathbf {u} )}$ er en firevektor, kan den fremstilles som en kovariant Pauli-vektor

${\displaystyle u^{\mu }\sigma _{\mu }=u_{0}I+{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}u_{0}+u_{z}&u_{x}-iu_{y}\\u_{x}+iu_{y}&u_{0}-u_{z}\end{pmatrix}}}$

Dens determinant er nå

${\displaystyle \det(u^{\mu }\sigma _{\mu })=u_{0}^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$

slik at metrikken i Minkowski-rommet kommer riktig ut.^[4]

Wolfgang Pauli viste at en partikkel med spinn s = 1/2 har en spinnvektor som kan fremstilles ved de tre matrisene

${\displaystyle \mathbf {S} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}={\hbar \over 2}(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$

hvor ħ  er den reduserte Planck-konstanten. De to egenverdiene ±1 til σ_z  tilhører to ortogonale egenvektorer som representeres ved spinorene

${\displaystyle \psi (+z)=\,\uparrow \;={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad \psi (-z)=\,\downarrow \;={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$

der ${\displaystyle \sigma _{z}\!\uparrow =+\!\uparrow }$ og ${\displaystyle \sigma _{z}\!\downarrow =-\!\downarrow .}$ Man sier derfor at de to tilstandene beskriver et spinnet som peker i retning +z  eller den motsatte retningen -z.

Spinn i andre retninger kan beskrives ved spinorer på den generelle formen ${\displaystyle \psi =a\!\uparrow +\,b\!\downarrow }$ hvor a  og b  er komplekse komponenter. For eksempel er

${\displaystyle \psi (+y)={\sqrt {\textstyle {1 \over 2}}}(\uparrow +\,i\!\downarrow )={\sqrt {1 \over 2}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

en egentilstand for σ_y  med egenverdi +1. Spinoren beskriver tilstanden hvor spinnet peker langs y-aksen.^[2]

Spinn i en vilkårlig retning gitt i kulekoordinater ved enhetsvektoren n = (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ), må tilsvare en egentilstand av matrisen

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \,e^{-i\phi }\\\sin \theta \,e^{i\phi }&-\cos \theta \end{pmatrix}}}$

med egenverdi +1. Den kan finnes mest direkte ved å rotere egentilstanden ${\displaystyle \uparrow }$ med spinnet langs z-aksen slik at det får sin retning langs n. Anvendes rotasjonsmatrisene for spinn-1/2, først med θ  om y-aksen og så φ  om z-aksen, går spinoren over til

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (+\mathbf {n} )&=e^{-i\sigma _{z}\phi /2}e^{-i\sigma _{y}\theta /2}\uparrow \\&={\begin{pmatrix}e^{-i\phi /2}&0\\0&e^{i\phi /2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}&-\sin {\theta \over 2}\\\sin {\theta \over 2}&\cos {\theta \over 2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos {\theta \over 2}e^{-i\phi /2}\\\sin {\theta \over 2}e^{i\phi /2}\end{pmatrix}}=e^{-i\phi /2}{\big (}\textstyle {\cos {\theta \over 2}}\uparrow +\;e^{i\phi }\sin {\textstyle {\theta \over 2}}\downarrow \!{\big )}\end{aligned}}}$

Hver slik egentilstand er éntydig gitt ved koordinatene (θ, φ) som angir et punkt på en kuleflate. Denne kalles ofte for en «Bloch-sfære» etter Felix Bloch når den anvendes i denne sammenhengen.^[5]

• Kvantisert dreieimpuls
• Pauli-ligning

• Professor M, The Pauli matrices, Youtube video.
• E.W. Weisstein, Pauli Matrices, Wolfram MathWorld
• B. Zwiebach, Spin One-half, Bras, Kets, and Operators, MIT OpenCourseWare, YouTube video (2013).