Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk eller et avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden. Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på de formelle egenskaper til avstandsmålet. Et matematisk resultat der beviset bygger ene og alene på de generelle egenskapene til en metrikk, vil være gyldig i alle metriske rom.
Et eksempel på et metriske rom er mengden av reelle tall, definert med metrikken d ( x , y ) = | x − − --> y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} . Andre eksempler euklidske rom Rn, definert sammen en avstandsmetrikk, og Manhattan-metrikken for et sett av punkter i et kartesisk plan, gitt en metrikk basert på en sum av absoluttverdien av koordinatene til disse punktene.
Ethvert metrisk rom er også et topologisk rom, og mengden av alle metriske rom er derfor en undermengde av alle topologiske rom.[1] Motsatt er alle normerte vektorrom, herunder alle indreproduktrom, metriske rom og mengden av alle normerte vektorrom (hhv. alle indreproduktsrom) er derfor ungdermengder av alle metriske rom.
Et metrisk rom (V,d) er en mengde V der det er definert en metrikk d, det vil si en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:
Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:[2]
Mengden av alle reelle tall R {\displaystyle \mathbb {R} } , kombinert med en metrikk definert som absoluttverdien mellom to punkter
er et metrisk rom.[3] Vi har her at
og lik 0 hvis og bare hvis x = y {\displaystyle x=y} . Videre er
så symmetribetingelsen er oppfylt, og for alle x , y , z ∈ ∈ --> R {\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} } gjelder
det vil si at trekantulikheten også gjelder.
Ethvert euklidsk rom R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} , der metrikken er lik avstanden mellom to punkter, gitt ved
er et metrisk rom.[2] Denne metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis x = y {\displaystyle x=y} . Videre er den er symmetrisk; å bytte om på x og y vil gi samme avstand:
for alle i. Trekantulikheten holder også: For alle punkter x , y , z ∈ ∈ --> R n {\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} ^{n}} , vil
Altså er alle betingelser oppfylt – og ethvert euklidsk rom, med metrikk gitt ved avstanden mellom to punkter, utgjør et metrisk rom.
Manhattan-metrikken er definert over R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , med metrikk gitt ved
for alle punkter p 1 = ( x 1 , y 1 ) , p 2 = ( x 2 , y 2 ) ∈ ∈ --> R 2 {\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}} .[5] Dette tilsvarer avstanden man må kjør dersom man følger en kvadratisk gatestruktur mellom to punkter.
Et annet eksempel på et metrisk rom er en mengde punkter S {\displaystyle S} og en diskret metrikk, gitt ved[2][3]
Metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis x = y {\displaystyle x=y} , så første betingelse er oppfylt. Hvis x = y {\displaystyle x=y} så er d ( x , y ) = d ( y , x ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)=0} og hvis ikke så er d ( x , y ) = d ( y , x ) = 1 {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)=1} ; dermed gjelder også symmetribetingelsen. Videre, hvis x , y , z {\displaystyle x,y,z} er punkter i rommet S {\displaystyle S} , der x = y {\displaystyle x=y} så gjelder 0 = d ( x , y ) ≤ ≤ --> d ( x , z ) + d ( z , y ) {\displaystyle 0=d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)} uansett hva z {\displaystyle z} er. Hvis x ≠ ≠ --> y {\displaystyle x\neq y} så kan ikke både z = x {\displaystyle z=x} og z = y {\displaystyle z=y} (men muligens er én av de sanne) så minst én av d ( x , z ) {\displaystyle d(x,z)} og d ( z , y ) {\displaystyle d(z,y)} har verdi 1 og dermed gjelder også d ( x , y ) ≤ ≤ --> d ( x , z ) + d ( z , y ) {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)} for alle punkter x , y , z ∈ ∈ --> S {\displaystyle x,y,z\in S} . Ettersom alle betingelsene er oppfylt, er S {\displaystyle S} med tilhørende metrikk et metrisk rom.
En følge i et metrisk rom S {\displaystyle S} er en mengde punkter p 0 , p 1 , p 2 , . . . {\displaystyle p_{0},p_{1},p_{2},...} , ofte skrevet som { p n } n ∈ ∈ --> N {\displaystyle \{p_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} , i dette rommet. Man sier at en følge konvergerer til en grense p ∈ ∈ --> S {\displaystyle p\in S} dersom man for enhver N ∈ ∈ --> N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } kan finne en verdi ϵ ϵ --> {\displaystyle \epsilon } slik at
for alle n > N {\displaystyle n>N} .[6]
En funksjon f : S 1 → → --> S 2 {\displaystyle f:S_{1}\to S_{2}} , der S 1 {\displaystyle S_{1}} og S 2 {\displaystyle S_{2}} er to metriske rom, sies å være kontinuerlig dersom den oppfyller epsilon-delta-betingelsen: Funksjonen f {\displaystyle f} er kontinuerlig for enhver ϵ ϵ --> > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , der ϵ ϵ --> ∈ ∈ --> R {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} } , og enhver y ∈ ∈ --> S 1 {\displaystyle y\in S_{1}} , finnes en δ δ --> {\displaystyle \delta } slik at dersom x ∈ ∈ --> S 1 {\displaystyle x\in S_{1}} og d ( x , y ) < ϵ ϵ --> {\displaystyle d(x,y)<\epsilon } , så er d ( f ( x ) , f ( y ) ) < δ δ --> {\displaystyle d(f(x),f(y))<\delta } .[7]
Utdypende artikkel: Komplett metrisk rom
Et metrisk rom V sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i V. Alle lukkede mengder av komplette rom utgjør også i seg selv et komplett rom.[8]
Mengden av reelle tall R {\displaystyle \mathbb {R} } er et eksempel på et komplett metrisk rom; det samme gjelder et generelt m-dimensjonalt euklidsk rom R {\displaystyle \mathbb {R} } . Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , dvs tall som kan skrives som en brøk. I Q {\displaystyle \mathbb {Q} } er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.[9]
En undermengde A i et metrisk rom (V,d) er begrenset dersom det eksisterer et objekt x i A og en positiv konstant M slik at
Et delmengde A i et metrisk rom V sies å være kompakt dersom enhver følge i A har en konvergent delfølge. Enhver kompakt mengde er lukket og begrenset.[11]
『ピカ☆★☆ンチ LIFE IS HARD たぶんHAPPY』(ピカンチハーフ ライフイズハードたぶんハッピー)は、嵐主演の日本映画。2002年に公開の前々作『ピカ☆ンチ LIFE IS HARDだけどHAPPY』、そしてその続編として2004年に公開された『ピカ★★ンチ LIFE IS HARDだからHAPPY』から10年を経て制作されたスピンオフ映画[1]。単なる続編ではなく、2.5作という位置づけとされている[1 …
Russian pastry RasstegaiTypePirogPlace of originRussia Media: Rasstegai Rasstegai (Russian: расстегай) is a type of Russian pirog with a hole in the top. History and etymology The dish was very popular in Tsarist Russia. In rasstegai the filling is not hidden in dough, and rasstegai in Russian means unfastened pies.[1] Another version: in Moscow, in the gypsy choir, the beautiful Katya sang very well the Russian song Sarafanchik-rasstegaychik; in honor of Katya, ra…
Menara JinnahNama asli bahasa Telugu: జిన్నా టవర్Menara Jinnah di GunturLetakGunturKoordinat16°17′36.5″N 80°26′51″E / 16.293472°N 80.44750°E / 16.293472; 80.44750Koordinat: 16°17′36.5″N 80°26′51″E / 16.293472°N 80.44750°E / 16.293472; 80.44750LuasAndhra Pradesh, IndiaLokasi Menara Jinnah di Andhra Pradesh Menara Jinnah adalah sebuah monumen markah tanah di kota Guntur, Andhra Pradesh. Nama menara ters…
Village in British Columbia, CanadaHazeltonVillageThe Corporation of the Village of Hazelton[1]Village of Hazelton Municipal OfficeLocation of Hazelton in British ColumbiaShow map of British ColumbiaHazelton, British Columbia (Canada)Show map of CanadaCoordinates: 55°15′21″N 127°40′32″W / 55.25583°N 127.67556°W / 55.25583; -127.67556CountryCanadaProvinceBritish ColumbiaRegional districtKitimat–StikineGovernment[2] • TypeMunicipal …
لمعانٍ أخرى، طالع روبرت توماس (توضيح). هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يوليو 2019) روبرت توماس معلومات شخصية الميلاد 1 ديسمبر 1974 (49 سنة) جاكسونفيل مواطنة الولايات المتحدة الطول 73 بوصة ا…
Biografi ini tidak memiliki sumber tepercaya sehingga isinya tidak dapat dipastikan. Bantu memperbaiki artikel ini dengan menambahkan sumber tepercaya. Materi kontroversial atau trivial yang sumbernya tidak memadai atau tidak bisa dipercaya harus segera dihapus.Cari sumber: J. B. Sumarlin – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) J. B. SumarlinMenteri Keuangan Indonesia ke-1…
Hip hop group This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The Cold Crush Brothers – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2021) (Learn how and when to remove this template message) Cold Crush BrothersBackground informationOriginThe Bronx, New York, U.S.GenresOld school hip hopYears active1978
لمعانٍ أخرى، طالع حصار صور (توضيح). حصار صور جزء من الصراع الكردي التركي (2015 حتى الآن) معلومات عامة التاريخ 3 ديسمبر 2015[1] – 10 مارس 2016[2] (3 شهور، و1 أسبوع) البلد تركيا الموقع صور بديار بكر في تركيا37°54′39″N 40°14′12″E / 37.91083333°N 40.23666667°E / 37.91083333; 40…
Glacier in Antarctica Cadman GlacierLocation of Graham Coast on the Antarctic PeninsulaLocation of Cadman Glacier in AntarcticaLocationGraham LandCoordinates65°37′00″S 63°47′00″W / 65.61667°S 63.78333°W / -65.61667; -63.78333ThicknessunknownHighest elevation295 m (968 ft)TerminusErskine GlacierStatusunknown Cadman Glacier (65°37′S 63°47′W / 65.617°S 63.783°W / -65.617; -63.783) is a glacier, 1.5 nautical miles (3&…
Johannesburg eGoli (Zulu)City of JohannesburgSearah jarum jam, dari atas: Johannesburg Art Gallery, garis cakrawala Hillbrow di malam hari, Nelson Mandela Square di Sandton, Johannesburg CBD dilihat dari sisi timur Jalan Bebas Hambatan M1, kampus timur Universitas Witwatersrand, dan Montecasino di kawasan Fourways. BenderaLambang kebesaranJulukan: Jo'burg; Jozi; Muḓi Mulila Ngoma (versi Venda), Joni (versi Tsonga); Egoli (Tempat Emas);[1] Gauteng (Tempat Emas)Motto:…
Minor league baseball teamFayetteville WoodpeckersFounded in 2017 Fayetteville, North Carolina Team logo Cap insignia Minor league affiliationsClassSingle-A (2022–present)Previous classes Low-A (2021) Class A-Advanced (2017–2020) LeagueCarolina League (2022–present)DivisionSouth DivisionPrevious leagues Low-A East (2021) Carolina League (2017–2020) Major league affiliationsTeamHouston Astros (2017–present)Minor league titlesLeague titles (1)2018Division titles (2)20182019Team dataNameF…
This article includes a list of characters from the Disney series Darkwing Duck. Main characters Darkwing Duck Drake Mallard / Darkwing Duck (voiced by Jim Cummings, Chris Diamantopoulos in the 2017 DuckTales reboot) is an average citizen by day and St. Canard's resident superhero by night.[1] He possesses a mix of genuine altruism and gigantic narcissism – two drives that constantly clash during his adventures.[2] Darkwing's origins are rather fuzzy. During his childhood and t…
「ALFEE」はこの項目へ転送されています。同名のアルバムについては「ALFEE (アルバム)」をご覧ください。 この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。(2016年5月) 独自研究が含まれているおそれがあります。(2016年5月) 言葉を濁した曖昧
Mannheimer Morgen Beschreibung Tageszeitung Verlag Mediengruppe Dr. Haas Erstausgabe 1946 Erscheinungsweise täglich außer sonntags Verkaufte Auflage 51.676 Exemplare (IVW 3/2023, Mo–Sa) Chefredakteur Karsten Kammholz Geschäftsführer Florian Kranefuß, Robert Schmidtlein Weblink www.mannheimer-morgen.de ZDB 1290397-8 Mannheimer Morgen Service & Ticketshop in Mannheim, P7 Der Mannheimer Morgen (MM) ist eine regionale Tageszeitung. Ihr Verbreitungsgebiet erstreckt sich einschließlich der…
1965 single by The Animals For other uses, see We Gotta Get Out of This Place (disambiguation). We've Gotta Get Out of This PlaceSingle by The AnimalsB-sideI Can't Believe ItReleased16 July 1965 (UK)August 1965 (US)Recorded15 June 1965GenreBlues rockLength3:17LabelColumbia Graphophone (UK)MGM (US)Songwriter(s)Barry Mann, Cynthia WeilProducer(s)Mickie MostThe Animals singles chronology Bring It On Home to Me (1965) We've Gotta Get Out of This Place (1965) It's My Life (1965) We Gotta Get Out of T…
International cricket tour Ireland women's cricket team in Pakistan in 2022–23 Pakistan IrelandDates 4 – 16 November 2022Captains Bismah Maroof Laura DelanyOne Day International seriesResults Pakistan won the 3-match series 3–0Most runs Sidra Ameen (277) Laura Delany (115)Most wickets Ghulam Fatima (8) Eimear Richardson (4)Player of the series Sidra Ameen (Pak)Twenty20 International seriesResults Ireland won the 3-match series 2–1Most runs Nida Dar (115) Gaby Lewis (144…
В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Бариев; Бариев, Радик. Радик Абрарович Бариев Дата рождения 31 июля 1961(1961-07-31) (62 года) Место рождения город Белокоровичи, Олевский район, Житомирская область, УССР, СССР[1] Принадлежность СССР → Россия Ро…
American illustrator Cover from August 1908. John Cecil Clay, 1875–1930, was an American illustrator known for genre and caricature paintings. Clay was born in Ronceverte, West Virginia to a long-time Southern family. He was a student of Henry Siddons Mowbray at the Art Students League of New York and had a graphic style that was suited to illustration. A recurring subject was pretty young women. During his life he worked for Life and Frank Leslie's Popular Monthly. He was a member of Society …
Japanese association football club This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Vissel Kobe – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2021) (Learn how and when to remove this template message) Football clubVissel Kobeヴィッセル神戸Full nameVissel KobeNickname(s)Ushi (cows)Founded1966; …
German composer This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (July 2022) (Learn how and when to remove this template message) Illustration from the title page of Schlick's Spiegel der Orgelmacher und Organisten (1511), the first German treatise on organ building and performance Arnolt Schlick (July 18?,[1] c. 1455–1460 – after 1521) was a German or…
Lokasi Pengunjung: 3.15.22.59