Legendre-transformasjon

En Legendre-transformasjon er i matematikken en metode for å omskrive en konveks funksjon av en variabel til en ny funksjon av den deriverte av den opprinnelige funksjonen. Den ble funnet i 1787 av den franske matematiker Adrien-Marie Legendre i forbindelse med hans interesse for såkalte minimale flater som han ville beskrive ved hjelp av deres tangentplan.

Definisjon

Den Legendre-transformerte er gitt ved skjæringspunktet g(p) med y-aksen for tangenten med stigningstall p i punktet (x,y) tll den gitte funksjonen y(x).

En kontinuerlig funksjon y = y(x) er konveks når dens deriverte er en økende funksjon av den variable x. Det er ekvivalent med å si at den andrederiverte av funksjonen alltid er positiv. Det eksisterer da en entydig sammenheng mellom x og den deriverte p = dy/dx. Dette er en implisitt ligning som gir x = x(p). Man kan nå konstruere en ny og ekvivalent funksjon som har p som argument ved å betrakte den rette linjen som er tangent til y = y(x) i punktet (x,y). Denne linjen skjærer y-aksen i punktet (0,g). For hvert argument x vil den deriverte ha en verdi p som gir en entydig verdi

som vist geometrisk i figuren til høyre. Man kan derfor betrakte g = g(p) som en funksjon av p når man benytter at x = x(p). Dette er den Legendre-transformerte funksjonen g(p) er den opprinnelige funksjonen y(x). De to variable x og p sies ofte å være konjugerte med hverandre. Man kan også definere den Legendre-transformerte med motsatt fortegn av hva som er valgt her.

Tar man differensialet av den nye funksjonen g = g(p), finner man dg = dy - pdx - xdp. Men nå er per definisjon dy = pdx slik at dg = - xdp. Derfor har man det viktige resultatet at x = - dg/dp som tilsvarer at p = dy/dx for den konjugerte variable.

Eksempel

Funksjonen y = x2 kan benyttes til å gi en enkel illustrasjon av transformasjonen. I dette tilfellet er p = d(x2)/dx = 2x. Sammenhengen mellom x og p blir da ganske enkelt x = p/2. Uttrykt ved den opprinnelige variable, blir den transformerte funksjonen derfor g = x2 - 2x⋅x = - x2. Dette resultatet kan nå skrives som en funksjon av den konjugerte variable, g(p) = - (p/2)2 = - p2/4. Man sjekker nå lett at den Legendre-transformerte av denne funksjonen, er den opprinnelige.

Funksjon av flere variable

Ofte inneholder den gitte funksjonen ekstra variable som ikke inngår direkte i transformasjonen. De sies å være passive. Med en ekstra variabel er da y = y(x,t) hvor t er en passiv variabel. Tangenten i x-retning har nå helningskoeffisient gitt ved den partiellderiverte p = ∂y/∂x som beregnes ved å holde t konstant under derivasjonen. Igjen kan man definere en Legendre-transformert funksjon ved g = y - px. I differensialet dg = dy - pdx - xdp er nå dy = (∂y/∂x)dx + (∂y/∂t)dt slik at man finner

Her er det første leddet lik null som følge av definisjonen p = ∂y/∂x. Dermed har man at dg = - xdp + (∂y/∂t)dt. Funksjonen g kan derfor betraktes som en funksjon av den nye variable p samt den passive variable t, det vil si at g = g(p,t). Videre ser man at denne nye funksjonen har ∂g/∂p = - x og ∂g/∂t = ∂y/∂t som er viktige relasjoner i praktiske anvendelser. Denne konstruksjonen kan opplagt utvides til å gjelde for funksjoner med flere passive variable.

Eksempel

En enkel funksjon med en passive variabel er y = tx lnx som er konveks når x > 0. Da blir p = ∂y/∂x = t(1 + lnx). Løses denne ligningen med hensyn på x, finner man at x = (1/e)e p/t. Dermed blir

som gir

når man setter inn for x. Dette er den Legendre-transformerte funksjonen. Med dette resultatet kan man nå sjekke at ∂g/∂p = - (1/e)e p/t = - x som forventet. Videre er ∂g/∂t = - (1/e)e p/t(1 - p/t) = x lnx som er akkurat ∂y/∂t.

Anvendelser

Transformasjonen ble etablert av Legendre for å løse rent matematiske problemer han var konfrontert med. Fremdeles har den mange anvendelser innen ren matematikk. I fysikken blir Legendre-transformasjoner benyttet spesielt innen klassisk mekanikk og termodynamikk.

Termodynamikk

En differensiell økning dU av den indre energien til et system i termisk likevekt som skyldes forandringene dV av dets volum og dS av dets entropi, er forbundet gjennom termodynamikkens andre hovedsetning. Denne kan matematisk skrives som

hvor P er trykket som systemet er utsatt for og T er temperaturen det har. Dette er et uttrykk for energiens bevarelse. Man kan derfor betrakte den indre enrgien som en funksjon U = U(S,V) hvor P = - (∂U/∂V)S og T = (∂U/∂S)V. Dette gjør det mulig å gjennomføre to forskjellige Legendre-transformasjoner. Enten kan man erstatte volumet V  med den konjugerte variable som er trykket P, eller man kan erstatte entropien S  med den konjugerte variable som er temperaturen T.

I det første tilfellet får man da H = U + PV  som er entalpien til systemet slik at H = H(S,P)  med V = (∂H/∂P)S som følger fra definsjonen av den Legendre-transformerte. Videre er T = (∂H/∂S)P da S  er en passiv variabel. Den andre muligheten gir F = U - TS  hvor F = F(T,V)  er Helmholtz fri energi. Da vil S = - (∂F/∂T)V og P = - (∂F/∂V)T da volumet V  denne gangen er passiv.

Denne frie energien kan man nå Legendre-transformeres videre ved å erstatte V med den konjugerte trykkvariable P. Det gir G = F + PV = H -TS som er Gibbs fri energi G = G(T,P)  med deriverte V = (∂G/∂P)T og S = - (∂G/∂T)P. Alle disse relasjonene mellom variable og tilsvarende deriverte som følger så direkte fra Legendre-transformasjonen, spiller en viktig rolle i beregninger av praktiske konsekvenser av de termodynamiske lover.

Mekanikk

De mekaniske lovene kan formuleres på to tilsynelatende, forskjellige måter. Hvis man benytter Lagrange-mekanikk, kan de alle utledes fra Lagrange-funksjonen for systemet. Hvis man betrakter bare en dynamisk variabel q som varierer med tiden t, er Lagrange-funksjon L = L(q,q',t) hvor den deriverte q' = dq/dt er en generalisert hastighet. Fra prinsippet om minste virkning følger da bevegelsesligningen

som er en differensialligning av andre orden i tiden. Det siste leddet inneholder p = ∂L/∂q' som er definert som den kanoniske impulsen for systemet. Bevegelsesligningen kan derfor skrives som p' = ∂L/∂q.

Ut fra definisjonen for impulsen ser man at Lagrange-funksjonen kan Legendre-transformeres til en ny funksjon H = pq' - L hvor man erstatter en hastighetsvariabel q'  med en impulsvariabel p = ∂L/∂q' . Den transformerte funksjonen er da H = H(q,p,t) og kalles for Hamilton-funksjonen for systemet. Da q er en passive variabel under denne transformasjonen, vil ∂H/∂q = - ∂L/∂q = - p'  når man passer på at denne Legendre-transformasjonen har motsatt fortegn av hva som ble benyttet over. Av samme grunn vil derfor q' = + ∂H/∂p.

Hamilton-mekanikk er dermed ikke noe annet enn Legendre-transformert Lagrange-mekanikk. I stedet for å ha en andreordens differensialligning å løse, kan man da i stedet benytte de to førsteordens differensialligningene

for å beregne bevegelsen. Mange ganger kan dette være enklere selv om fysikken er den samme. Dette er Hamiltons bevegelsesligninger og kan lett generaliseres for systemer med et vilkårlig antall dynamiske variable.

Litteratur

  • M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker

Read other articles:

Gempa bumi Vrancea 1977Hotel hancur di Bukares, RumaniaTampilkan peta EropaTampilkan peta RumaniaWaktu UTC1977-03-04 19:21:57ISC700695USGS-ANSSComCatTanggal setempat4 Maret 1977 (1977-03-04)Waktu setempat21:21:57Lama55 detikKekuatan7.5 Mw[1]Kedalaman94 km (58 mi)[2]Episentrum45°46′N 26°46′E / 45.77°N 26.76°E / 45.77; 26.76Koordinat: 45°46′N 26°46′E / 45.77°N 26.76°E / 45.77; 26.76Wila...

 

Bagian dari seri mengenai Sejarah Rusia Bangsa TatarVolga Bulgaria (abad VII-XIII) Bangsa TurkKekhaganan Khazar (abad VII-X) Bangsa Rus Kekhanan Rus' (abad VIII-IX) Pendudukan Viking Rus Kiev (abad IX-XII) Vladimir-Suzdal (abad XII-XIV) Republik Novgorod (abad XII-XV) Bangsa Mongol Invasi Mongol (antara 1220–1240) Gerombolan Emas (1240-an–1502) Abad Pertengahan AkhirKadipaten Agung Moskwa (1340–1547) Era modern Ketsaran Rusia (1547–1721) Kekaisaran Rusia (1721–1917) Pemerintahan Sem...

 

2006–2015 American K-pop platform MTV K was an English-language online media hub under the MTV brand that focused on K-pop music for a global audience. Owned and operated by parent company Viacom Media Networks, MTV K was based out of New York City and provided original media content including music video playlists, live performances, editorial, and other exclusive content in multiple languages. MTV K first launched in 2006 as a television channel on DirecTV and was reformatted to online co...

United States Senate election in Massachusetts 1936 United States Senate election in Massachusetts ← 1930 November 3, 1936 1942 →   Nominee Henry Cabot Lodge Jr. James Michael Curley Thomas C. O'Brien Party Republican Democratic Union Popular vote 875,160 739,751 134,245 Percentage 48.53% 41.02% 7.44% County resultsCabot Lodge Jr.:      40–50%      50–60%      60–70%   &#...

 

Study of mental functions and behaviors For other uses, see Psychology (disambiguation). Part of a series onPsychology Outline History Subfields Basic psychology Abnormal Affective neuroscience Affective science Behavioral genetics Behavioral neuroscience Behaviorism Cognitive/Cognitivism Cognitive neuroscience Social Comparative Cross-cultural Cultural Developmental Differential Ecological Evolutionary Experimental Gestalt Intelligence Mathematical Moral Neuropsychology Perception Personalit...

 

العلاقات الرواندية السورينامية رواندا سورينام   رواندا   سورينام تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الرواندية السورينامية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين رواندا وسورينام.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه ا...

Men's basketball team of Temple University Temple Owls 2023–24 Temple Owls men's basketball team UniversityTemple UniversityAll-time record1,994–1,155 (.633)Head coachAdam Fisher (1st season)ConferenceThe AmericanLocationPhiladelphia, PennsylvaniaArenaLiacouras Center (Capacity: 10,206)NicknameOwlsColorsCherry and white[1]   Uniforms Home Away Alternate Pre-tournament Premo-Porretta champions1938Pre-tournament Helms champions1938NCAA tournament Final Four1...

 

Hugo Maradona Informasi pribadiNama lengkap Hugo Hernán MaradonaTanggal lahir (1969-05-09)9 Mei 1969Tempat lahir Lanús, ArgentinaTanggal meninggal 28 Desember 2021(2021-12-28) (umur 52)Tempat meninggal Monte di Procida, ItaliaTinggi 165 cm (5 ft 5 in)Posisi bermain GelandangKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)1985–1987 Argentinos Juniors 19 (1)1987–1988 Ascoli 13 (0)1988–1990 Rayo Vallecano 28 (3)1990 Rapid Vienna 3 (0)1990 Deportivo Italia 33 (5)1991 Progreso ? (...

 

American symphony orchestra in Boston Boston Symphony OrchestraOrchestraShort nameBSOFounded1881; 143 years ago (1881)Location301 Massachusetts Avenue, Boston, Massachusetts, U.S.Concert hallSymphony HallTanglewoodMusic directorAndris NelsonsWebsitewww.bso.org The Boston Symphony Orchestra (BSO) is an American orchestra based in Boston. It is the second-oldest of the five major American symphony orchestras commonly referred to as the Big Five.[1] Founded by Henry Lee...

泰国陆军元帅他侬·吉滴卡宗ถนอม กิตติขจรPChW SR MPCh MWM第10任泰國總理任期1963年12月9日—1973年10月14日君主拉玛九世前任沙立·他那叻元帥继任訕耶·探瑪塞任期1958年1月1日—1958年10月20日君主拉玛九世前任乃朴·沙拉信继任沙立·他那叻元帥第32任泰國國防部長任期1957年9月23日—1973年10月14日前任鑾披汶·頌堪继任他威·尊拉塞(英语:Dawee Chullasapya) 个人资料出...

 

Questa voce o sezione sull'argomento sovrani non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Enrichetta Adelaide di SavoiaPaul Mignard, Ritratto di Enrichetta Adelaide di Savoia, elettrice di Baviera, olio su tela, XVII secolo, Alte Pinakothek, Monaco di BavieraElettrice di BavieraStemma In carica27 sette...

 

Mexican boxer In this Spanish name, the first or paternal surname is Estrada and the second or maternal family name is Romero. Juan Francisco EstradaEstrada in 2013BornJuan Francisco Estrada Romero (1990-04-14) April 14, 1990 (age 34)Puerto Peñasco, Sonora, MexicoOther namesEl GalloStatisticsWeight(s) Light flyweight Flyweight Super flyweight Height5 ft 4 in (163 cm)[1]Reach66 in (168 cm)[1]StanceOrthodox Boxing recordTotal fights47W...

1999 video game 1999 video gameThe CreedDeveloper(s)Insomnia Entertainment, Dreamtime InteractivePublisher(s)Electronic Arts, Midas InteractivePlatform(s)WindowsRelease3 February 1999[1]Genre(s)Action adventure game, third-person shooterMode(s)Single-player The Creed is a 1999 action-adventure game created by Australian developers Insomnia Entertainment and Dreamtime Interactive, and published by Electronic Arts and Midas Interactive. The game is a cyberpunk-themed action-adventure ga...

 

American Samoa affiliate of the Republican Party Republican Party of American Samoa ChairpersonUtu Abe MalaeVice ChairmanJohn RaynarNational CommitteewomanAmata Coleman RadewagenNational CommitteemanSu'a Carl SchusterTreasurerTina IoneFounded1985[1]HeadquartersP.O. Box 3564, Pago Pago, AS 96799IdeologyConservatismNational affiliationRepublican PartyColors  RedU.S. House of Representatives1 / 1 Politics of American SamoaPolitical partiesElections Republican Party of American Samoa...

 

Questa voce sull'argomento film religiosi è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Giuseppe di NazarethGiuseppe (Tobias Moretti) in una scena del filmPaeseItalia Anno2000 Formatofilm TV Generereligioso Durata90 min Lingua originaleitaliano CreditiRegiaRaffaele Mertes SoggettoGianmario Pagano SceneggiaturaGareth Jones Interpreti e personaggi Tobias Moretti: Giuseppe Stefania Rivi: Maria Ennio Fantastichini: Erode Massimo Reale: Ioses Francesco D...

Overview of the culture of Louisiana This article is part of a series on theCulture of Louisiana Society French language History Religion Roman Catholicism Voodoo People Louisiana French Cajuns Creoles Arts and literature Creole Architecture Art Cajun Dance Louisiana literature Music Jazz Zydeco Other Louisiana cuisine Gumbo Jambalaya Festivals Folklore Mythology Sports Symbols Flag Seal Pledge of allegiance Anthem Bird World Heritage Sites Fleur-de-lis Louisiana portalvte The culture of Loui...

 

Ethnic group native to Sindh, Pakistan This article is about the ethnic group. For their language, see Sindhi language. For their native homeland, see Sindh. For other uses, see Sindhi (disambiguation). Sindhi people redirects here. Not to be confused with Sindi people or Sinti people. This article contains Sindhi text, written from right to left with some letters joined. Without proper rendering support, you may see unjoined letters or other symbols instead of Sindhi script. Ethnic group...

 

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: 2008 South American Race Walking Championships – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2013) (Learn how and when to remove this message) International athletics championship event2008 South American Race Walking ChampionshipsOrganisersCONSUDATLEEd...

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Авилов. Николай Викторович Авилов Общая информация Дата и место рождения 6 августа 1948(1948-08-06)[1] (76 лет)Одесса, Украинская ССР, СССР Гражданство  СССР Рост 191 см Вес 89 кг IAAF 14351624 Международные медали Олимп...

 

Questa voce sull'argomento giocatori di badminton è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Kamilla Rytter JuhlKamilla Rytter Juhl nel 2013Nazionalità Danimarca Altezza183 cm Peso71 kg Badminton Palmarès Competizione Ori Argenti Bronzi Olimpiadi 0 1 0 Mondiali 1 1 1 Europei 6 1 2 Europei a squadre 4 1 0 Vedi maggiori dettagli  Modifica dati su Wikidata · Manuale Kamilla Rytter Juhl (Skagen, 23 novembre 1983) è una giocatrice d...