Hamilton-operatoren er den mest sentrale operator i kvantemekanikken. En måling av energien til et fysisk system vil gi som resultat en av dens egenverdier. Ved bruk av Schrödinger-ligningen bestemmer den hvordan systemet forandrer seg med tiden.

For systemer som kan beskrives i klassisk fysikk, kan Hamilton-operatoren finnes fra Hamilton-funksjonen ved at de klassiske variable for posisjon og impuls blir kvantemekaniske operatorer. Denne formalismen ble utarbeidet av William Rowan Hamilton i første halvdel av 1800-tallet. Derfor blir Hamilton-funksjonen vanligvis betegnet med bokstaven ${\displaystyle H}$. Den tilsvarende Hamilton-operatoren skrives da ofte som ${\displaystyle {\hat {H}}}$ for å markere forskjellen mellom disse to størrelsene, men benyttes sjeldnere i mer spesialisert litteratur.

Både Schrödingers og Heisenbergs versjoner av kvantemekanikken er bygget opp rundt Hamilton-operatoren. Den mer moderne formuleringen ved Feynmans veiintegral har sitt utganspunkt ikke i Hamilton-funksjonen, men i Lagrange-funksjonen til det fysiske systemet. Dermed vil denne mer generelle versjonen gi resultat som er mer direkte i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori. Da formuleringen ikke inneholder operatorer, vil Hamilton-operatoren her spille bare en indirekte rolle.

Et fysisk system beskrives i kvantemekanikken ved en tilstandsfunksjon Ψ(t ) som avhenger av tiden t  samt de dynamiske variable som benyttes. Istedenfor Newtons bevegelseslover i klassisk mekanikk styres systemet kvantemekanisk av Schrödingers bevegelsesligning

${\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (t)={\hat {H}}\Psi (t)}$

hvor ${\displaystyle {\hat {H}}}$ er dets Hamilton-operator. Her er ħ = h/2π  den reduserte Planck-konstanten og i = √-1 er den imaginære enheten.^[1]

Når Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden, vil den ha egentilstander definert ved ${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{E}=E\psi _{E}}$ hvor E  er den tilsvarende egenverdien. En slik tilstand vil derfor forandre seg med tiden som

${\displaystyle \psi _{E}(t)=\psi _{E}\,e^{-iEt/\hbar }}$

Dette representerer en harmonisk svingning med vinkelfrekvens ω = E/ħ. Denne sammenhengen mellom energi og frekvens kan føres helt tilbake til starten av kvantemekanikken i 1900 da Max Planck lanserte sin strålingsformel.

I dette tilfellet med en tidsuavhengig Hamilton-operator vil en vilkårlig tilstand Ψ(t ) utvikle seg med tiden ifølge

${\displaystyle \Psi (t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\Psi (0)}$

Denne variasjonen med tiden kan nå eksplisitt beregnes ved å uttrykke begynnelsestilstanden Ψ(0 ) som en superposisjon av egentilstander ψ_E  som hver oscillerer i tiden rent harmonisk.

Mange ganger kan Hamilton-operatoren finnes direkte fra den klassiske Hamilton-funksjonen til systemet. Den beskriver dets totale energi og kan for ikke-relativistiske partikler splittes opp i kinetisk og potensiell energi. For det enkleste tilfellet med én partikkel med masse m  som beveger seg i et statisk potensial er Hamilton-funksjonen

${\displaystyle H={\mathbf {p} ^{2} \over 2m}+V(\mathbf {x} )}$

De dynamiske variable er her partikkelens posisjon x og dens impuls p. Ved å benytte en posisjonsbeskrivelse finnes nå den tilsvarende Hamilton-operatoren ved å la impulsvektoren bli erstattes med derivasjonsoperatoren p → - iħ ∇ slik at den blir

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {x} )}$

Den inneholder derfor Laplace-operatoren ∇². Det er på denne formen av Hamilton-operatoren at energinivåene i hydrogenatomet vanligvis beregnes.^[2]

Hamilton-operatoren for mange ikke-relativistiske partikler kan på lignende vis finnes fra Hamilton-funksjonen ved å erstatte impulsvektoren p_n for hver av dem med den tilsvarende derivasjonsoperatoren - iħ ∇_n som virker på koordinatene x_n til hver av partiklene.

For partikler som beveger seg med hastigheter som nærmer seg lyshastigheten c, kan det ikke uten videre finnes en enkel Hamilton-operator. Men for ikke altfor høye hastigheter kan man benytte det approksimative uttrykket

${\displaystyle H={\sqrt {m^{2}c^{4}+\mathbf {p} ^{2}c^{2}}}=mc^{2}+{\mathbf {p} ^{2} \over 2m}-{\mathbf {p} ^{4} \over 8m^{3}c^{2}}+\cdots }$

for Hamilton-funksjonen når impulsen p < mc. Den relativistiske korreksjonen proporsjonal med p⁴ vil dermed gi opphav til et ledd med ∇⁴ i den resulterende Hamilton-operatoren og kan beregnes ved kvantemekanisk perturbasjonsteori.^[1]

En mer fundamental beskrivelse kan gis for en partikkel med spinn s = 1/2 ved bruk av Dirac-ligningen. Bølgefunksjonen Ψ(t ) må da utvides til å bli en spinor med fire komponenter. Når partikkelen befinner seg i et ytre potensial, kan dens kvantemekaniske egenskaper på den måten finnes ved bruk av Hamilton-operatoren

${\displaystyle {\hat {H}}=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2}+V(\mathbf {x} )}$

hvor α = (α_x, α_y, α_z) og β  er fire 4×4 matriser og impulsoperatoren ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}.}$ Men denne Hamilton-operatoren har også egenverdier for energien som kan være negative. Slike løsninger av Dirac-ligningen betyr at den også beskriver antipartikler og derfor ikke lenger er en énpartikkel-ligning.^[3]

Når partikkelen har en elektrisk ladning q, kan den vekselvirke både med elektriske felt E og magnetiske felt B som begge kan variere både med tiden og posisjonen til partikkelen. Begge disse koblingene bidrar til dens potensielle energi. De kan uttrykkes ved bruk av det tilsvarende elektriske potensialet Φ = Φ(x,t) og det magnetiske potensialet A = A(x,t) ved sammenhengene E = - ∂ A/∂ t - ∇ Φ  og B = ∇ × A. Da vekselvirkningen skal være invariant under gaugetransformasjoner, vil den inngå i Lagrange-funksjonen til partikkelen på en bestemt måte. Den blir

${\displaystyle L={1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}-q\Phi +q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$

hvor v = dx/dt  er hastigheten til partikkelen. For å finne den tilsvarende Hamilton-funksjonen behøver man partiklens konjugerte impuls. Den blir nå p = ∂L/∂v = m v + q A. Dermed tar Hamilton-funksjonen den kompakte formen

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} -L\\&={1 \over 2m}\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\Phi \end{aligned}}}$

Igjen kan Hamilton-operatoren finnes herfra ved substitusjonen ${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}.}$ Det er da viktig å ta hensyn til at denne impulsoperatoren ikke kommuterer med posisjonen x som inngår i vektorpotensialet.^[2]

Kravet om en gaugeinvariant kobling til de elektromagnetiske feltene bestemmer også hvordan de inngår i Dirac-ligningen. Den tilsvarende Hamilton-funksjonen blir da

${\displaystyle H=c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} )+\beta mc^{2}+q\Phi }$

Siden potensialene A og Φ generelt varier med tiden, vil ikke disse Hamilton-operatorene ha noen entydige egenverdier. Det betyr at de elektromagnetiske koblingene vil påvirke det fysiske systemet ved at det foretar kvantesprang mellom ellers stabile eller stasjonære tilstander.^[3]

På samme måte som Lagrange-funksjonen for et felt finnes fra en Lagrange-tetthet, vil Hamilton-funksjonen til feltet være gitt ved en tilsvarende Hamilton-tetthet. Et skalarfelt φ = φ(x,t) for bosoner med spinn s = 0 er gitt ved Klein-Gordon-ligningen. Den følger fra Lagrange-tettheten

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\hbar ^{2} \over 2c^{2}}{\Big (}{\partial \phi \over \partial t}{\Big )}^{2}-{\hbar ^{2} \over 2}({\boldsymbol {\nabla }}\phi )^{2}-{1 \over 2}m^{2}c^{2}\phi ^{2}}$

der m  er massen til partiklene. Feltet kan kvantiseres ved bruk av den kanonisk konjugerte feltimpulsen ^[4]

${\displaystyle \Pi ={\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {\phi }}}={\hbar ^{2} \over c^{2}}{\dot {\phi }}}$

når man skriver ${\displaystyle {\dot {\phi }}=\partial \phi /\partial t.}$ Hamilton-tettheten til feltet er nå som alltid definert ved

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&={\dot {\phi }}\Pi -{\mathcal {L}}\\&={c^{2} \over 2\hbar ^{2}}\Pi ^{2}+{\hbar ^{2} \over 2}({\boldsymbol {\nabla }}\phi )^{2}+{1 \over 2}m^{2}c^{2}\phi ^{2}\end{aligned}}}$

Den er et uttrykk for den klassiske energitettheten som feltet har i det tredimensjonale rommet. Dets Hamilton-funksjon er dermed gitt ved det romlige integralet

${\displaystyle H=\int \!d^{3}x\,{\mathcal {H}}(\phi ,\Pi )}$

Herav finnes Hamilton-operatoren ved å la de to dynamiske variable bli kvantiserte operatorer ${\displaystyle \phi \rightarrow {\hat {\phi }}}$ og ${\displaystyle \Pi \rightarrow {\hat {\Pi }}.}$ Kvantiseringen må da være i overensstemmelse med den kanoniske kommutatoren

${\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t),{\hat {\Pi }}(\mathbf {x'} ,t)]=i\hbar \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

hvor Diracs deltafunksjon inngår på høyre side.^[3]

Partiklene som feltet beskriver, opptrer som kvant ved kvantiseringen. Dette kommer mest direkte frem ved å utvikle det klassiske feltet i Fourier-moder. I praksis betyr det å kvantisere feltet når det befinner seg i en kubisk boks med volum V = L³ og benytte periodiske grensebetingelser. Da kan man skrive

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={c \over \hbar }{\sqrt {1 \over V}}\sum _{\mathbf {k} }\phi _{\mathbf {k} }(t)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$

hvor hver komponent av bølgevektoren k er et heltallig multiplum av 2π /L. Fourier-komponentene φ_k er komplekse, men oppfyller φ_k* = φ_-k da skalarfeltet φ(x,t) er reelt.^[5]

Ved nå å benytte integralet

${\displaystyle \int \!d^{3}x\,e^{i(\mathbf {k} -\mathbf {k} ')\cdot \mathbf {x} }=V\delta _{\mathbf {k} \mathbf {k} '}}$

kan Lagrange-funksjonen til feltetskrives på den nye formen

${\displaystyle L=\int \!d^{3}x\,{\mathcal {L}}={1 \over 2}\sum _{\mathbf {k} }({\dot {\phi }}_{\mathbf {k} }{\dot {\phi }}_{\mathbf {k} }^{*}-\omega _{\mathbf {k} }^{2}{\phi }_{\mathbf {k} }{\phi }_{\mathbf {k} }^{*})}$

hvor

${\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }^{2}=k^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}/\hbar ^{2}}$

Det frie skalarfeltet er derfor ekvivalent med en uendelig sum av todimensjonale, harmoniske oscillatorer karakterisert ved bølgevektoren k og med vinkelfrekvens ω_k. Kvantisering av feltet følger da fra kvantiseringen av en oscillator.^[5]

Fourier-komponenten til den konjugerte feltimpulsen blir nå

${\displaystyle \Pi _{\mathbf {k} }={\partial L \over \partial {\dot {\phi }}_{\mathbf {k} }}={\dot {\phi }}_{\mathbf {k} }^{*}={\dot {\phi }}_{-\mathbf {k} }}$

Når disse komponentene blir kvantemekaniske operatorer, tar den kanoniske kommutatoren den enklere formen

${\displaystyle [{\hat {\phi }}_{\mathbf {k} },{\hat {\Pi }}_{\mathbf {k} '}]=i\hbar \delta _{\mathbf {k} \mathbf {k} '}}$

Den kan gjøres mer anvendelig ved å innføre kreasjons- og annhilasjonsoperatorer ved å definere dem ved

${\displaystyle {\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }={\sqrt {\hbar \over 2\omega _{\mathbf {k} }}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} }+{\hat {a}}_{-\mathbf {k} }^{\dagger }\right)}$

${\displaystyle {\hat {\Pi }}_{\mathbf {k} }=i{\sqrt {\hbar \omega _{\mathbf {k} } \over 2}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }-{\hat {a}}_{-\mathbf {k} }\right)}$

når de oppfyller den fundamentale kommutatoren

${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=\delta _{\mathbf {k} \mathbf {k} '}}$

Hamilton-operatoren til feltet er nå en sum over Hamilton-operatorene til hver harmonisk feltmode,^[5]

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{\mathbf {k} }\hbar \omega _{\mathbf {k} }({\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }+1/2)}$

Den viser at et kvant med bølgetallet k har en energi som er

${\displaystyle E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }={\sqrt {\hbar ^{2}k^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

Det er derfor en relativistisk partikkel med impuls p = ħ k og masse m.

Da nullpunktsenergien til hver mode av feltet er positiv, betyr denne Hamilton-operatoren at også det tomme rom ser ut til å ha en uendelig stor energi. Det kan betraktes som et problem med denne kvantiseringen. Men likevel kan denne konsekvensen under bestemte forhold påvises eksperimentelt og omtales da som en Casimir-effekt etter oppdageren.^[6]

Ved bruk av Hamilton-operatoren kan nå kvantefeltoperatoren beregnes i Heisenberg-bildet ved et vilkårlig tidspunkt med resultatet

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,0)\,e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\\&=c\sum _{\mathbf {k} }{\sqrt {1 \over 2\hbar \omega _{\mathbf {k} }V}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega _{\mathbf {k} }t)}+{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega _{\mathbf {k} }t)}\right)\end{aligned}}}$

Det uttrykker matematisk den fundamentale bølge–partikkel-dualitet som er det essensielle innhold av alle kvantefeltteorier. Vanligvis benytter man naturlige enheter med ħ = c = 1 i denne beskrivelsen slik at de matematiske uttrykkene blir enklere.^[3]

Relativistiske bølgeligninger som Klein-Gordon-ligningen for bosoner og Dirac-ligningen for fermioner har løsninger som også tilsvarer partikler med negativ energi. Det betyr at de beskriver både partikler og antipartikler og må derfor mer korrekt bli betraktet som «feltligninger». Kvantisering av disse feltene gjør det mulig å beskrive samtidig et vilkårlig antall av slike partikler og deres antipartikler.

Hamilton-operatoren for Dirac-feltet kan utledes på ligningende måte som for Klein-Gordon-feltet ved å ta utgangspunkt i den klassiske Lagrange-funksjonen. Feltet ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {x} ,t)}$ er en spinor med fire komplekse komponenter, og den konjugerte feltimpulsen er gitt ved den kompleks-transponerte spinoren ${\displaystyle \psi ^{\dagger }.}$ Hamilton-tettheten for det fri feltet blir da

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\psi ^{\dagger }(c{\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}+\beta mc^{2})\psi }$

hvor igjen ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}}$ som for én partikkel. Men når feltet kvantiseres for å gi Hamilton-operatoren, vil spinorfeltet ${\displaystyle \psi }$ bli en feltoperator ${\displaystyle {\hat {\psi }}.}$ Denne fremgangsmåten blir derfor av og til omtalt som andrekvantisering.^[3]

Mens kvantiseringsbetingelsene for skalarfeltet er gitt ved kommutatorer, uttrykkes de ved antkommutatorer for Dirac-feltet,

${\displaystyle \{{\hat {\psi }}_{\alpha }(\mathbf {x} ,t),{\hat {\psi }}_{\beta }^{\dagger }(\mathbf {x'} ,t)\}=\delta _{\alpha \beta }\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

hvor på høyre side nå opptrer et Kronecker-delta med spinorindeksene. Slike antikommutatorer betyr også at Paulis eksklusjonsprinsipp er automatisk oppfylt for fermioner.^[2]

På lignende måte som for skalarfeltet kan også Dirac-feltet nå bli utviklet i moder med tilsvarende kreasjons- og annihilasjonsoperatorer for partikler og antipartikler. Når feltet samtidig kobles til det elektromagnetiske feltet som også kvantiseres, vil den resulterende Hamilton-operatoren danne grunnlaget for relativistisk kvanteelektrodynamikk.

• Schrödinger-ligningen
• Kvantemekanikk
• Kvantefeltteori

• R. Resnick, R. Eisberg, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), John Wiley & Sons, New York (1985), ISBN 978-0-471-87373-0